Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114349 / 18020
↖ ↑ ↗
← N 78.293815°
E134.068909°		 ← 61.97 m → N 78.293815°
E134.071655°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.293258°
E134.068909°		 ← 61.97 m →
3 842 m²		 N 78.293258°
E134.071655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872417449951172 y=0.137485504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872417449951172 × 217)
    floor (0.872417449951172 × 131072)
    floor (114349.5)     		tx = 114349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137485504150391 × 217)
    floor (0.137485504150391 × 131072)
    floor (18020.5)     		ty = 18020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114349 / 18020 ti = "17/114349/18020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114349/18020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114349 ÷ 217
    114349 ÷ 131072     		x = 0.872413635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18020 ÷ 217
    18020 ÷ 131072     		y = 0.137481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872413635253906 × 2 - 1) × π
    0.744827270507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.33994388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137481689453125 × 2 - 1) × π
    0.72503662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27776972234659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33994388} λ = 2.33994388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27776972234659))-π/2
    2×atan(9.75489999490123)-π/2
    2×1.46864059173706-π/2
    2.93728118347411-1.57079632675     		φ = 1.36648486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33994388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.068909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36648486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.293815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114349 KachelY 18020 2.33994388 1.36648486 134.068909 78.293815
    Oben rechts KachelX + 1 114350 KachelY 18020 2.33999182 1.36648486 134.071655 78.293815
    Unten links KachelX 114349 KachelY + 1 18021 2.33994388 1.36647513 134.068909 78.293258
    Unten rechts KachelX + 1 114350 KachelY + 1 18021 2.33999182 1.36647513 134.071655 78.293258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36648486-1.36647513) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36648486-1.36647513) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33994388-2.33999182) × cos(1.36648486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202892995707028 × 6371000     		do = 61.9687433545951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33994388-2.33999182) × cos(1.36647513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202902523322328 × 6371000     		du = 61.9716533335486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36648486)-sin(1.36647513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202892995707028-0.202902523322328)×R²
    abs(2.33999182-2.33994388)×9.52761530026436e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52761530026436e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52761530026436e-06×40589641000000     		ar = 3841.52206044681m²