Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114348 / 18086
↖ ↑ ↗
← N 78.256979°
E134.066162°		 ← 62.16 m → N 78.256979°
E134.068909°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.256419°
E134.066162°		 ← 62.16 m →
3 865 m²		 N 78.256419°
E134.068909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872409820556641 y=0.137989044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872409820556641 × 217)
    floor (0.872409820556641 × 131072)
    floor (114348.5)     		tx = 114348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137989044189453 × 217)
    floor (0.137989044189453 × 131072)
    floor (18086.5)     		ty = 18086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114348 / 18086 ti = "17/114348/18086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114348/18086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114348 ÷ 217
    114348 ÷ 131072     		x = 0.872406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18086 ÷ 217
    18086 ÷ 131072     		y = 0.137985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872406005859375 × 2 - 1) × π
    0.74481201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33989594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137985229492188 × 2 - 1) × π
    0.724029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27460588697166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33989594} λ = 2.33989594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27460588697166))-π/2
    2×atan(9.72408586833409)-π/2
    2×1.46831913404968-π/2
    2.93663826809937-1.57079632675     		φ = 1.36584194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33989594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.066162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36584194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.256979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114348 KachelY 18086 2.33989594 1.36584194 134.066162 78.256979
    Oben rechts KachelX + 1 114349 KachelY 18086 2.33994388 1.36584194 134.068909 78.256979
    Unten links KachelX 114348 KachelY + 1 18087 2.33989594 1.36583218 134.066162 78.256419
    Unten rechts KachelX + 1 114349 KachelY + 1 18087 2.33994388 1.36583218 134.068909 78.256419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36584194-1.36583218) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36584194-1.36583218) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33989594-2.33994388) × cos(1.36584194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203522501583531 × 6371000     		do = 62.1610106527603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33989594-2.33994388) × cos(1.36583218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203532057299661 × 6371000     		du = 62.1639292144306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36584194)-sin(1.36583218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203522501583531-0.203532057299661)×R²
    abs(2.33994388-2.33989594)×9.55571613028838e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.55571613028838e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.55571613028838e-06×40589641000000     		ar = 3865.32205650072m²