Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114347 / 17991
↖ ↑ ↗
← N 78.309965°
E134.063416°		 ← 61.87 m → N 78.309965°
E134.066162°		 →
↑
61.86 m
↓
↑
61.86 m
↓
N 78.309408°
E134.063416°		 ← 61.87 m →
3 828 m²		 N 78.309408°
E134.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872402191162109 y=0.137264251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872402191162109 × 217)
    floor (0.872402191162109 × 131072)
    floor (114347.5)     		tx = 114347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137264251708984 × 217)
    floor (0.137264251708984 × 131072)
    floor (17991.5)     		ty = 17991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114347 / 17991 ti = "17/114347/17991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114347/17991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114347 ÷ 217
    114347 ÷ 131072     		x = 0.872398376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17991 ÷ 217
    17991 ÷ 131072     		y = 0.137260437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872398376464844 × 2 - 1) × π
    0.744796752929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.33984801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137260437011719 × 2 - 1) × π
    0.725479125976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27915989243557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33984801} λ = 2.33984801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27915989243557))-π/2
    2×atan(9.76847039549216)-π/2
    2×1.46878152368042-π/2
    2.93756304736084-1.57079632675     		φ = 1.36676672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33984801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.063416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36676672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.309965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114347 KachelY 17991 2.33984801 1.36676672 134.063416 78.309965
    Oben rechts KachelX + 1 114348 KachelY 17991 2.33989594 1.36676672 134.066162 78.309965
    Unten links KachelX 114347 KachelY + 1 17992 2.33984801 1.36675701 134.063416 78.309408
    Unten rechts KachelX + 1 114348 KachelY + 1 17992 2.33989594 1.36675701 134.066162 78.309408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36676672-1.36675701) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dl = 61.8624100003289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36676672-1.36675701) × R
    9.71000000005162e-06 × 6371000     		dr = 61.8624100003289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33984801-2.33989594) × cos(1.36676672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202616990081306 × 6371000     		do = 61.8715354037553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33984801-2.33989594) × cos(1.36675701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202626498667552 × 6371000     		du = 61.874438964954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36676672)-sin(1.36675701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202616990081306-0.202626498667552)×R²
    abs(2.33989594-2.33984801)×9.50858624670925e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.50858624670925e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.50858624670925e-06×40589641000000     		ar = 3827.61210112137m²