Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114343 / 18073
↖ ↑ ↗
← N 78.264243°
E134.052429°		 ← 62.12 m → N 78.264243°
E134.055176°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.263685°
E134.052429°		 ← 62.13 m →
3 859 m²		 N 78.263685°
E134.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872371673583984 y=0.137889862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872371673583984 × 217)
    floor (0.872371673583984 × 131072)
    floor (114343.5)     		tx = 114343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137889862060547 × 217)
    floor (0.137889862060547 × 131072)
    floor (18073.5)     		ty = 18073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114343 / 18073 ti = "17/114343/18073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114343/18073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114343 ÷ 217
    114343 ÷ 131072     		x = 0.872367858886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18073 ÷ 217
    18073 ÷ 131072     		y = 0.137886047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872367858886719 × 2 - 1) × π
    0.744735717773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.33965626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137886047363281 × 2 - 1) × π
    0.724227905273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.27522906666673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33965626} λ = 2.33965626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27522906666673))-π/2
    2×atan(9.73014760978119)-π/2
    2×1.46838253025221-π/2
    2.93676506050442-1.57079632675     		φ = 1.36596873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33965626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.052429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36596873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.264243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114343 KachelY 18073 2.33965626 1.36596873 134.052429 78.264243
    Oben rechts KachelX + 1 114344 KachelY 18073 2.33970420 1.36596873 134.055176 78.264243
    Unten links KachelX 114343 KachelY + 1 18074 2.33965626 1.36595898 134.052429 78.263685
    Unten rechts KachelX + 1 114344 KachelY + 1 18074 2.33970420 1.36595898 134.055176 78.263685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36596873-1.36595898) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36596873-1.36595898) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33965626-2.33970420) × cos(1.36596873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203398363628592 × 6371000     		do = 62.1230957260109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33965626-2.33970420) × cos(1.36595898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203407909805563 × 6371000     		du = 62.1260113741767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36596873)-sin(1.36595898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203398363628592-0.203407909805563)×R²
    abs(2.33970420-2.33965626)×9.54617697171423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54617697171423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54617697171423e-06×40589641000000     		ar = 3859.00642397978m²