Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114337 / 18079
↖ ↑ ↗
← N 78.260891°
E134.035950°		 ← 62.14 m → N 78.260891°
E134.038697°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.260332°
E134.035950°		 ← 62.14 m →
3 860 m²		 N 78.260332°
E134.038697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872325897216797 y=0.137935638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872325897216797 × 217)
    floor (0.872325897216797 × 131072)
    floor (114337.5)     		tx = 114337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137935638427734 × 217)
    floor (0.137935638427734 × 131072)
    floor (18079.5)     		ty = 18079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114337 / 18079 ti = "17/114337/18079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114337/18079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114337 ÷ 217
    114337 ÷ 131072     		x = 0.872322082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18079 ÷ 217
    18079 ÷ 131072     		y = 0.137931823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872322082519531 × 2 - 1) × π
    0.744644165039062 × 3.1415926535     		Λ = 2.33936864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137931823730469 × 2 - 1) × π
    0.724136352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.274941445269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33936864} λ = 2.33936864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.274941445269))-π/2
    2×atan(9.72734941355548)-π/2
    2×1.46835327527289-π/2
    2.93670655054578-1.57079632675     		φ = 1.36591022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33936864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.035950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36591022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.260891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114337 KachelY 18079 2.33936864 1.36591022 134.035950 78.260891
    Oben rechts KachelX + 1 114338 KachelY 18079 2.33941658 1.36591022 134.038697 78.260891
    Unten links KachelX 114337 KachelY + 1 18080 2.33936864 1.36590047 134.035950 78.260332
    Unten rechts KachelX + 1 114338 KachelY + 1 18080 2.33941658 1.36590047 134.038697 78.260332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36591022-1.36590047) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36591022-1.36590047) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33936864-2.33941658) × cos(1.36591022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203455650191198 × 6371000     		do = 62.1405925167871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33936864-2.33941658) × cos(1.36590047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203465196252118 × 6371000     		du = 62.1435081295075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36591022)-sin(1.36590047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203455650191198-0.203465196252118)×R²
    abs(2.33941658-2.33936864)×9.54606091946308e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54606091946308e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54606091946308e-06×40589641000000     		ar = 3860.0932754331m²