Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114331 / 18058
↖ ↑ ↗
← N 78.272620°
E134.019470°		 ← 62.07 m → N 78.272620°
E134.022217°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.272062°
E134.019470°		 ← 62.07 m →
3 855 m²		 N 78.272062°
E134.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872280120849609 y=0.137775421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872280120849609 × 217)
    floor (0.872280120849609 × 131072)
    floor (114331.5)     		tx = 114331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137775421142578 × 217)
    floor (0.137775421142578 × 131072)
    floor (18058.5)     		ty = 18058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114331 / 18058 ti = "17/114331/18058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114331/18058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114331 ÷ 217
    114331 ÷ 131072     		x = 0.872276306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18058 ÷ 217
    18058 ÷ 131072     		y = 0.137771606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872276306152344 × 2 - 1) × π
    0.744552612304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.33908102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137771606445312 × 2 - 1) × π
    0.724456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27594812016103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33908102} λ = 2.33908102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27594812016103))-π/2
    2×atan(9.73714662245076)-π/2
    2×1.46845563166716-π/2
    2.93691126333432-1.57079632675     		φ = 1.36611494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33908102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.019470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36611494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.272620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114331 KachelY 18058 2.33908102 1.36611494 134.019470 78.272620
    Oben rechts KachelX + 1 114332 KachelY 18058 2.33912895 1.36611494 134.022217 78.272620
    Unten links KachelX 114331 KachelY + 1 18059 2.33908102 1.36610519 134.019470 78.272062
    Unten rechts KachelX + 1 114332 KachelY + 1 18059 2.33912895 1.36610519 134.022217 78.272062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36611494-1.36610519) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36611494-1.36610519) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33908102-2.33912895) × cos(1.36611494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20325520781929 × 6371000     		do = 62.0664228678082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33908102-2.33912895) × cos(1.36610519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20326475428612 × 6371000     		du = 62.0693379962989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36611494)-sin(1.36610519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20325520781929-0.20326475428612)×R²
    abs(2.33912895-2.33908102)×9.5464668304901e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5464668304901e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5464668304901e-06×40589641000000     		ar = 3855.48604596198m²