Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114328 / 18088
↖ ↑ ↗
← N 78.255861°
E134.011231°		 ← 62.15 m → N 78.255861°
E134.013977°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.255302°
E134.011231°		 ← 62.16 m →
3 865 m²		 N 78.255302°
E134.013977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872257232666016 y=0.138004302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872257232666016 × 217)
    floor (0.872257232666016 × 131072)
    floor (114328.5)     		tx = 114328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138004302978516 × 217)
    floor (0.138004302978516 × 131072)
    floor (18088.5)     		ty = 18088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114328 / 18088 ti = "17/114328/18088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114328/18088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114328 ÷ 217
    114328 ÷ 131072     		x = 0.87225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18088 ÷ 217
    18088 ÷ 131072     		y = 0.13800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87225341796875 × 2 - 1) × π
    0.7445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33893721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13800048828125 × 2 - 1) × π
    0.7239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27451001317242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33893721} λ = 2.33893721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27451001317242))-π/2
    2×atan(9.72315362796719)-π/2
    2×1.46830937735411-π/2
    2.93661875470822-1.57079632675     		φ = 1.36582243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33893721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.011231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36582243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.255861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114328 KachelY 18088 2.33893721 1.36582243 134.011231 78.255861
    Oben rechts KachelX + 1 114329 KachelY 18088 2.33898514 1.36582243 134.013977 78.255861
    Unten links KachelX 114328 KachelY + 1 18089 2.33893721 1.36581267 134.011231 78.255302
    Unten rechts KachelX + 1 114329 KachelY + 1 18089 2.33898514 1.36581267 134.013977 78.255302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36582243-1.36581267) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36582243-1.36581267) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33893721-2.33898514) × cos(1.36582243) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20354160320574 × 6371000     		do = 62.1538771443974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33893721-2.33898514) × cos(1.36581267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203551158883114 × 6371000     		du = 62.1567950854381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36582243)-sin(1.36581267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20354160320574-0.203551158883114)×R²
    abs(2.33898514-2.33893721)×9.55567737329077e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.55567737329077e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.55567737329077e-06×40589641000000     		ar = 3864.87846859918m²