Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114323 / 17590
↖ ↑ ↗
← N 78.531035°
E133.997497°		 ← 60.73 m → N 78.531035°
E134.000244°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.530489°
E133.997497°		 ← 60.73 m →
3 691 m²		 N 78.530489°
E134.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872219085693359 y=0.134204864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872219085693359 × 217)
    floor (0.872219085693359 × 131072)
    floor (114323.5)     		tx = 114323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134204864501953 × 217)
    floor (0.134204864501953 × 131072)
    floor (17590.5)     		ty = 17590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114323 / 17590 ti = "17/114323/17590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114323/17590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114323 ÷ 217
    114323 ÷ 131072     		x = 0.872215270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17590 ÷ 217
    17590 ÷ 131072     		y = 0.134201049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872215270996094 × 2 - 1) × π
    0.744430541992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.33869752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134201049804688 × 2 - 1) × π
    0.731597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29838258918321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33869752} λ = 2.33869752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29838258918321))-π/2
    2×atan(9.95806314351195)-π/2
    2×1.47071072669206-π/2
    2.94142145338411-1.57079632675     		φ = 1.37062513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33869752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.997497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37062513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.531035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114323 KachelY 17590 2.33869752 1.37062513 133.997497 78.531035
    Oben rechts KachelX + 1 114324 KachelY 17590 2.33874546 1.37062513 134.000244 78.531035
    Unten links KachelX 114323 KachelY + 1 17591 2.33869752 1.37061559 133.997497 78.530489
    Unten rechts KachelX + 1 114324 KachelY + 1 17591 2.33874546 1.37061559 134.000244 78.530489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37062513-1.37061559) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37062513-1.37061559) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33869752-2.33874546) × cos(1.37062513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198837112139819 × 6371000     		do = 60.7299721147273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33869752-2.33874546) × cos(1.37061559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198846461641316 × 6371000     		du = 60.7328276931407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37062513)-sin(1.37061559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198837112139819-0.198846461641316)×R²
    abs(2.33874546-2.33869752)×9.34950149697467e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.34950149697467e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.34950149697467e-06×40589641000000     		ar = 3691.21440335886m²