Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114321 / 17587
↖ ↑ ↗
← N 78.532673°
E133.992005°		 ← 60.71 m → N 78.532673°
E133.994751°		 →
↑
60.72 m
↓
↑
60.72 m
↓
N 78.532127°
E133.992005°		 ← 60.71 m →
3 686 m²		 N 78.532127°
E133.994751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872203826904297 y=0.134181976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872203826904297 × 217)
    floor (0.872203826904297 × 131072)
    floor (114321.5)     		tx = 114321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134181976318359 × 217)
    floor (0.134181976318359 × 131072)
    floor (17587.5)     		ty = 17587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114321 / 17587 ti = "17/114321/17587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114321/17587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114321 ÷ 217
    114321 ÷ 131072     		x = 0.872200012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17587 ÷ 217
    17587 ÷ 131072     		y = 0.134178161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872200012207031 × 2 - 1) × π
    0.744400024414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.33860165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134178161621094 × 2 - 1) × π
    0.731643676757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.29852639988207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33860165} λ = 2.33860165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29852639988207))-π/2
    2×atan(9.95949532251078)-π/2
    2×1.47072502313684-π/2
    2.94145004627367-1.57079632675     		φ = 1.37065372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33860165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.992005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37065372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.532673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114321 KachelY 17587 2.33860165 1.37065372 133.992005 78.532673
    Oben rechts KachelX + 1 114322 KachelY 17587 2.33864958 1.37065372 133.994751 78.532673
    Unten links KachelX 114321 KachelY + 1 17588 2.33860165 1.37064419 133.992005 78.532127
    Unten rechts KachelX + 1 114322 KachelY + 1 17588 2.33864958 1.37064419 133.994751 78.532127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37065372-1.37064419) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dl = 60.7156300002252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37065372-1.37064419) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dr = 60.7156300002252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33860165-2.33864958) × cos(1.37065372) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.1988090929279 × 6371000     		do = 60.7087481983968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33860165-2.33864958) × cos(1.37064419) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.198818432683263 × 6371000     		du = 60.7116002050543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37065372)-sin(1.37064419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1988090929279-0.198818432683263)×R²
    abs(2.33864958-2.33860165)×9.3397553636021e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.3397553636021e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.3397553636021e-06×40589641000000     		ar = 3686.05647407944m²