Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114320 / 17997
↖ ↑ ↗
← N 78.306625°
E133.989258°		 ← 61.90 m → N 78.306625°
E133.992005°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.306069°
E133.989258°		 ← 61.90 m →
3 833 m²		 N 78.306069°
E133.992005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872196197509766 y=0.137310028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872196197509766 × 217)
    floor (0.872196197509766 × 131072)
    floor (114320.5)     		tx = 114320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137310028076172 × 217)
    floor (0.137310028076172 × 131072)
    floor (17997.5)     		ty = 17997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114320 / 17997 ti = "17/114320/17997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114320/17997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114320 ÷ 217
    114320 ÷ 131072     		x = 0.8721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17997 ÷ 217
    17997 ÷ 131072     		y = 0.137306213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8721923828125 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137306213378906 × 2 - 1) × π
    0.725387573242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.27887227103785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33855371} λ = 2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27887227103785))-π/2
    2×atan(9.76566117839826)-π/2
    2×1.46875238108568-π/2
    2.93750476217136-1.57079632675     		φ = 1.36670844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36670844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.306625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114320 KachelY 17997 2.33855371 1.36670844 133.989258 78.306625
    Oben rechts KachelX + 1 114321 KachelY 17997 2.33860165 1.36670844 133.992005 78.306625
    Unten links KachelX 114320 KachelY + 1 17998 2.33855371 1.36669872 133.989258 78.306069
    Unten rechts KachelX + 1 114321 KachelY + 1 17998 2.33860165 1.36669872 133.992005 78.306069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36670844-1.36669872) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36670844-1.36669872) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33855371-2.33860165) × cos(1.36670844) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.202674060897126 × 6371000     		do = 61.9018750288426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33855371-2.33860165) × cos(1.36669872) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.202683579161136 × 6371000     		du = 61.9047821516714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36670844)-sin(1.36669872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202674060897126-0.202683579161136)×R²
    abs(2.33860165-2.33855371)×9.51826400991118e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.51826400991118e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.51826400991118e-06×40589641000000     		ar = 3833.43295457153m²