Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114319 / 18095
↖ ↑ ↗
← N 78.251947°
E133.986511°		 ← 62.19 m → N 78.251947°
E133.989258°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.251388°
E133.986511°		 ← 62.19 m →
3 867 m²		 N 78.251388°
E133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872188568115234 y=0.138057708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872188568115234 × 217)
    floor (0.872188568115234 × 131072)
    floor (114319.5)     		tx = 114319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138057708740234 × 217)
    floor (0.138057708740234 × 131072)
    floor (18095.5)     		ty = 18095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114319 / 18095 ti = "17/114319/18095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114319/18095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114319 ÷ 217
    114319 ÷ 131072     		x = 0.872184753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18095 ÷ 217
    18095 ÷ 131072     		y = 0.138053894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872184753417969 × 2 - 1) × π
    0.744369506835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.33850577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138053894042969 × 2 - 1) × π
    0.723892211914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.27417445487508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33850577} λ = 2.33850577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27417445487508))-π/2
    2×atan(9.71989149044028)-π/2
    2×1.46827522170655-π/2
    2.9365504434131-1.57079632675     		φ = 1.36575412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33850577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.986511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36575412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.251947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114319 KachelY 18095 2.33850577 1.36575412 133.986511 78.251947
    Oben rechts KachelX + 1 114320 KachelY 18095 2.33855371 1.36575412 133.989258 78.251947
    Unten links KachelX 114319 KachelY + 1 18096 2.33850577 1.36574436 133.986511 78.251388
    Unten rechts KachelX + 1 114320 KachelY + 1 18096 2.33855371 1.36574436 133.989258 78.251388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36575412-1.36574436) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36575412-1.36574436) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33850577-2.33855371) × cos(1.36575412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203608482749612 × 6371000     		do = 62.1872715140367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33850577-2.33855371) × cos(1.36574436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203618038291257 × 6371000     		du = 62.1901900224148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36575412)-sin(1.36574436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203608482749612-0.203618038291257)×R²
    abs(2.33855371-2.33850577)×9.5555416454729e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.5555416454729e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.5555416454729e-06×40589641000000     		ar = 3866.95498032155m²