Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114318 / 18094
↖ ↑ ↗
← N 78.252506°
E133.983765°		 ← 62.17 m → N 78.252506°
E133.986511°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.251947°
E133.983765°		 ← 62.17 m →
3 866 m²		 N 78.251947°
E133.986511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872180938720703 y=0.138050079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872180938720703 × 217)
    floor (0.872180938720703 × 131072)
    floor (114318.5)     		tx = 114318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138050079345703 × 217)
    floor (0.138050079345703 × 131072)
    floor (18094.5)     		ty = 18094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114318 / 18094 ti = "17/114318/18094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114318/18094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114318 ÷ 217
    114318 ÷ 131072     		x = 0.872177124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18094 ÷ 217
    18094 ÷ 131072     		y = 0.138046264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872177124023438 × 2 - 1) × π
    0.744354248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33845784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138046264648438 × 2 - 1) × π
    0.723907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2742223917747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33845784} λ = 2.33845784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2742223917747))-π/2
    2×atan(9.72035744307105)-π/2
    2×1.46828010177181-π/2
    2.93656020354362-1.57079632675     		φ = 1.36576388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33845784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36576388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.252506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114318 KachelY 18094 2.33845784 1.36576388 133.983765 78.252506
    Oben rechts KachelX + 1 114319 KachelY 18094 2.33850577 1.36576388 133.986511 78.252506
    Unten links KachelX 114318 KachelY + 1 18095 2.33845784 1.36575412 133.983765 78.251947
    Unten rechts KachelX + 1 114319 KachelY + 1 18095 2.33850577 1.36575412 133.986511 78.251947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36576388-1.36575412) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36576388-1.36575412) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33845784-2.33850577) × cos(1.36576388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203598927188571 × 6371000     		do = 62.1713817121623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33845784-2.33850577) × cos(1.36575412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203608482749612 × 6371000     		du = 62.1742996176795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36576388)-sin(1.36575412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203598927188571-0.203608482749612)×R²
    abs(2.33850577-2.33845784)×9.55556104070832e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.55556104070832e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.55556104070832e-06×40589641000000     		ar = 3865.96691845397m²