Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114317 / 17729
↖ ↑ ↗
← N 78.454875°
E133.981018°		 ← 61.13 m → N 78.454875°
E133.983765°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.454326°
E133.981018°		 ← 61.13 m →
3 735 m²		 N 78.454326°
E133.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872173309326172 y=0.135265350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872173309326172 × 217)
    floor (0.872173309326172 × 131072)
    floor (114317.5)     		tx = 114317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135265350341797 × 217)
    floor (0.135265350341797 × 131072)
    floor (17729.5)     		ty = 17729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114317 / 17729 ti = "17/114317/17729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114317/17729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114317 ÷ 217
    114317 ÷ 131072     		x = 0.872169494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17729 ÷ 217
    17729 ÷ 131072     		y = 0.135261535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872169494628906 × 2 - 1) × π
    0.744338989257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.33840990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135261535644531 × 2 - 1) × π
    0.729476928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.29171936013602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33840990} λ = 2.33840990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29171936013602))-π/2
    2×atan(9.89193085987868)-π/2
    2×1.470046110595-π/2
    2.94009222119-1.57079632675     		φ = 1.36929589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33840990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.981018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36929589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.454875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114317 KachelY 17729 2.33840990 1.36929589 133.981018 78.454875
    Oben rechts KachelX + 1 114318 KachelY 17729 2.33845784 1.36929589 133.983765 78.454875
    Unten links KachelX 114317 KachelY + 1 17730 2.33840990 1.36928630 133.981018 78.454326
    Unten rechts KachelX + 1 114318 KachelY + 1 17730 2.33845784 1.36928630 133.983765 78.454326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36929589-1.36928630) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dl = 61.0978900007313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36929589-1.36928630) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dr = 61.0978900007313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33840990-2.33845784) × cos(1.36929589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200139634564993 × 6371000     		do = 61.1277959903024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33840990-2.33845784) × cos(1.36928630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200149030525002 × 6371000     		du = 61.1306657583411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36929589)-sin(1.36928630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200139634564993-0.200149030525002)×R²
    abs(2.33845784-2.33840990)×9.39596000892884e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.39596000892884e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.39596000892884e-06×40589641000000     		ar = 3734.86702365881m²