Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114315 / 18105
↖ ↑ ↗
← N 78.246353°
E133.975525°		 ← 62.20 m → N 78.246353°
E133.978271°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.245793°
E133.975525°		 ← 62.21 m →
3 872 m²		 N 78.245793°
E133.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872158050537109 y=0.138134002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872158050537109 × 217)
    floor (0.872158050537109 × 131072)
    floor (114315.5)     		tx = 114315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138134002685547 × 217)
    floor (0.138134002685547 × 131072)
    floor (18105.5)     		ty = 18105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114315 / 18105 ti = "17/114315/18105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114315/18105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114315 ÷ 217
    114315 ÷ 131072     		x = 0.872154235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18105 ÷ 217
    18105 ÷ 131072     		y = 0.138130187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872154235839844 × 2 - 1) × π
    0.744308471679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.33831403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138130187988281 × 2 - 1) × π
    0.723739624023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.27369508587888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33831403} λ = 2.33831403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27369508587888))-π/2
    2×atan(9.71523319242435)-π/2
    2×1.46822640845504-π/2
    2.93645281691007-1.57079632675     		φ = 1.36565649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33831403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.975525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36565649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.246353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114315 KachelY 18105 2.33831403 1.36565649 133.975525 78.246353
    Oben rechts KachelX + 1 114316 KachelY 18105 2.33836196 1.36565649 133.978271 78.246353
    Unten links KachelX 114315 KachelY + 1 18106 2.33831403 1.36564672 133.975525 78.245793
    Unten rechts KachelX + 1 114316 KachelY + 1 18106 2.33836196 1.36564672 133.978271 78.245793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36565649-1.36564672) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dl = 62.2446699994204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36565649-1.36564672) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dr = 62.2446699994204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33831403-2.33836196) × cos(1.36565649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203704066664106 × 6371000     		do = 62.2034873158448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33831403-2.33836196) × cos(1.36564672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203713631801994 × 6371000     		du = 62.2064081457676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36565649)-sin(1.36564672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203704066664106-0.203713631801994)×R²
    abs(2.33836196-2.33831403)×9.5651378883288e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5651378883288e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5651378883288e-06×40589641000000     		ar = 3871.92644384717m²