Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114312 / 18056
↖ ↑ ↗
← N 78.273737°
E133.967285°		 ← 62.06 m → N 78.273737°
E133.970032°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.273178°
E133.967285°		 ← 62.06 m →
3 851 m²		 N 78.273178°
E133.970032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872135162353516 y=0.137760162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872135162353516 × 217)
    floor (0.872135162353516 × 131072)
    floor (114312.5)     		tx = 114312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137760162353516 × 217)
    floor (0.137760162353516 × 131072)
    floor (18056.5)     		ty = 18056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114312 / 18056 ti = "17/114312/18056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114312/18056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114312 ÷ 217
    114312 ÷ 131072     		x = 0.87213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18056 ÷ 217
    18056 ÷ 131072     		y = 0.13775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87213134765625 × 2 - 1) × π
    0.7442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33817022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13775634765625 × 2 - 1) × π
    0.7244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27604399396027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33817022} λ = 2.33817022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27604399396027))-π/2
    2×atan(9.73808020444352)-π/2
    2×1.46846537463451-π/2
    2.93693074926902-1.57079632675     		φ = 1.36613442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33817022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.967285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36613442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.273737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114312 KachelY 18056 2.33817022 1.36613442 133.967285 78.273737
    Oben rechts KachelX + 1 114313 KachelY 18056 2.33821815 1.36613442 133.970032 78.273737
    Unten links KachelX 114312 KachelY + 1 18057 2.33817022 1.36612468 133.967285 78.273178
    Unten rechts KachelX + 1 114313 KachelY + 1 18057 2.33821815 1.36612468 133.970032 78.273178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36613442-1.36612468) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dl = 62.0535400005819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36613442-1.36612468) × R
    9.74000000009134e-06 × 6371000     		dr = 62.0535400005819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33817022-2.33821815) × cos(1.36613442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203236134410259 × 6371000     		do = 62.0605985729076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33817022-2.33821815) × cos(1.36612468) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203245671124415 × 6371000     		du = 62.0635107233018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36613442)-sin(1.36612468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203236134410259-0.203245671124415)×R²
    abs(2.33821815-2.33817022)×9.53671415618307e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53671415618307e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53671415618307e-06×40589641000000     		ar = 3851.17019073428m²