Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114309 / 17763
↖ ↑ ↗
← N 78.436171°
E133.959046°		 ← 61.21 m → N 78.436171°
E133.961792°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.435621°
E133.959046°		 ← 61.22 m →
3 748 m²		 N 78.435621°
E133.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872112274169922 y=0.135524749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872112274169922 × 217)
    floor (0.872112274169922 × 131072)
    floor (114309.5)     		tx = 114309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135524749755859 × 217)
    floor (0.135524749755859 × 131072)
    floor (17763.5)     		ty = 17763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114309 / 17763 ti = "17/114309/17763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114309/17763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114309 ÷ 217
    114309 ÷ 131072     		x = 0.872108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17763 ÷ 217
    17763 ÷ 131072     		y = 0.135520935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872108459472656 × 2 - 1) × π
    0.744216918945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.33802641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135520935058594 × 2 - 1) × π
    0.728958129882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.29008950554894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33802641} λ = 2.33802641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29008950554894))-π/2
    2×atan(9.87582158244756)-π/2
    2×1.46988288105651-π/2
    2.93976576211301-1.57079632675     		φ = 1.36896944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33802641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.959046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36896944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.436171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114309 KachelY 17763 2.33802641 1.36896944 133.959046 78.436171
    Oben rechts KachelX + 1 114310 KachelY 17763 2.33807434 1.36896944 133.961792 78.436171
    Unten links KachelX 114309 KachelY + 1 17764 2.33802641 1.36895983 133.959046 78.435621
    Unten rechts KachelX + 1 114310 KachelY + 1 17764 2.33807434 1.36895983 133.961792 78.435621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36896944-1.36895983) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36896944-1.36895983) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33802641-2.33807434) × cos(1.36896944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200459468957406 × 6371000     		do = 61.2127103735928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33802641-2.33807434) × cos(1.36895983) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200468883884332 × 6371000     		du = 61.2155853347914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36896944)-sin(1.36895983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200459468957406-0.200468883884332)×R²
    abs(2.33807434-2.33802641)×9.41492692663193e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.41492692663193e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.41492692663193e-06×40589641000000     		ar = 3747.85517892643m²