Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114307 / 17758
↖ ↑ ↗
← N 78.438924°
E133.953552°		 ← 61.21 m → N 78.438924°
E133.956299°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.438373°
E133.953552°		 ← 61.21 m →
3 748 m²		 N 78.438373°
E133.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872097015380859 y=0.135486602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872097015380859 × 217)
    floor (0.872097015380859 × 131072)
    floor (114307.5)     		tx = 114307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135486602783203 × 217)
    floor (0.135486602783203 × 131072)
    floor (17758.5)     		ty = 17758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114307 / 17758 ti = "17/114307/17758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114307/17758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114307 ÷ 217
    114307 ÷ 131072     		x = 0.872093200683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17758 ÷ 217
    17758 ÷ 131072     		y = 0.135482788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872093200683594 × 2 - 1) × π
    0.744186401367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.33793053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135482788085938 × 2 - 1) × π
    0.729034423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29032919004704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33793053} λ = 2.33793053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29032919004704))-π/2
    2×atan(9.87818894748589)-π/2
    2×1.46990690175028-π/2
    2.93981380350055-1.57079632675     		φ = 1.36901748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33793053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.953552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36901748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.438924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114307 KachelY 17758 2.33793053 1.36901748 133.953552 78.438924
    Oben rechts KachelX + 1 114308 KachelY 17758 2.33797847 1.36901748 133.956299 78.438924
    Unten links KachelX 114307 KachelY + 1 17759 2.33793053 1.36900787 133.953552 78.438373
    Unten rechts KachelX + 1 114308 KachelY + 1 17759 2.33797847 1.36900787 133.956299 78.438373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36901748-1.36900787) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36901748-1.36900787) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33793053-2.33797847) × cos(1.36901748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200412403842213 × 6371000     		do = 61.2111067486467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33793053-2.33797847) × cos(1.36900787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200421818861676 × 6371000     		du = 61.2139823379333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36901748)-sin(1.36900787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200412403842213-0.200421818861676)×R²
    abs(2.33797847-2.33793053)×9.41501946294387e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.41501946294387e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.41501946294387e-06×40589641000000     		ar = 3747.75701571955m²