Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114305 / 17710
↖ ↑ ↗
← N 78.465315°
E133.948059°		 ← 61.06 m → N 78.465315°
E133.950805°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.464766°
E133.948059°		 ← 61.06 m →
3 731 m²		 N 78.464766°
E133.950805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872081756591797 y=0.135120391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872081756591797 × 217)
    floor (0.872081756591797 × 131072)
    floor (114305.5)     		tx = 114305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135120391845703 × 217)
    floor (0.135120391845703 × 131072)
    floor (17710.5)     		ty = 17710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114305 / 17710 ti = "17/114305/17710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114305/17710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114305 ÷ 217
    114305 ÷ 131072     		x = 0.872077941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17710 ÷ 217
    17710 ÷ 131072     		y = 0.135116577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872077941894531 × 2 - 1) × π
    0.744155883789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.33783466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135116577148438 × 2 - 1) × π
    0.729766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29263016122881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33783466} λ = 2.33783466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29263016122881))-π/2
    2×atan(9.90094454552982)-π/2
    2×1.47013721363647-π/2
    2.94027442727294-1.57079632675     		φ = 1.36947810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33783466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.948059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36947810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.465315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114305 KachelY 17710 2.33783466 1.36947810 133.948059 78.465315
    Oben rechts KachelX + 1 114306 KachelY 17710 2.33788259 1.36947810 133.950805 78.465315
    Unten links KachelX 114305 KachelY + 1 17711 2.33783466 1.36946851 133.948059 78.464766
    Unten rechts KachelX + 1 114306 KachelY + 1 17711 2.33788259 1.36946851 133.950805 78.464766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36947810-1.36946851) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dl = 61.0978900007313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36947810-1.36946851) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dr = 61.0978900007313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33783466-2.33788259) × cos(1.36947810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199961107828582 × 6371000     		do = 61.0605298076222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33783466-2.33788259) × cos(1.36946851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199970504138166 × 6371000     		du = 61.0633990837913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36947810)-sin(1.36946851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199961107828582-0.199970504138166)×R²
    abs(2.33788259-2.33783466)×9.39630958393667e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.39630958393667e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.39630958393667e-06×40589641000000     		ar = 3730.75718705311m²