Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114304 / 17727
↖ ↑ ↗
← N 78.455975°
E133.945312°		 ← 61.12 m → N 78.455975°
E133.948059°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.455425°
E133.945312°		 ← 61.12 m →
3 735 m²		 N 78.455425°
E133.948059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872074127197266 y=0.135250091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872074127197266 × 217)
    floor (0.872074127197266 × 131072)
    floor (114304.5)     		tx = 114304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135250091552734 × 217)
    floor (0.135250091552734 × 131072)
    floor (17727.5)     		ty = 17727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114304 / 17727 ti = "17/114304/17727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114304/17727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114304 ÷ 217
    114304 ÷ 131072     		x = 0.8720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17727 ÷ 217
    17727 ÷ 131072     		y = 0.135246276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8720703125 × 2 - 1) × π
    0.744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33778672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135246276855469 × 2 - 1) × π
    0.729507446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.29181523393526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33778672} λ = 2.33778672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29181523393526))-π/2
    2×atan(9.89287928233574)-π/2
    2×1.47005570421777-π/2
    2.94011140843555-1.57079632675     		φ = 1.36931508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33778672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.945312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36931508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.455975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114304 KachelY 17727 2.33778672 1.36931508 133.945312 78.455975
    Oben rechts KachelX + 1 114305 KachelY 17727 2.33783466 1.36931508 133.948059 78.455975
    Unten links KachelX 114304 KachelY + 1 17728 2.33778672 1.36930549 133.945312 78.455425
    Unten rechts KachelX + 1 114305 KachelY + 1 17728 2.33783466 1.36930549 133.948059 78.455425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36931508-1.36930549) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dl = 61.0978900007313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36931508-1.36930549) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dr = 61.0978900007313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33778672-2.33783466) × cos(1.36931508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200120832792044 × 6371000     		do = 61.1220534448863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33778672-2.33783466) × cos(1.36930549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200130228788885 × 6371000     		du = 61.1249232241743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36931508)-sin(1.36930549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200120832792044-0.200130228788885)×R²
    abs(2.33783466-2.33778672)×9.3959968401891e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.3959968401891e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.3959968401891e-06×40589641000000     		ar = 3734.51616670727m²