Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1143 / 3286
↖ ↑ ↗
← S 72.971189°
W 79.541015°		 ← 2 862.04 m → S 72.971189°
W 79.453125°		 →
↑
2 859.94 m
↓
↑
2 859.94 m
↓
S 72.996909°
W 79.541015°		 ← 2 857.85 m →
8 179 281 m²		 S 72.996909°
W 79.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2791748046875 y=0.8023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2791748046875 × 212)
    floor (0.2791748046875 × 4096)
    floor (1143.5)     		tx = 1143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8023681640625 × 212)
    floor (0.8023681640625 × 4096)
    floor (3286.5)     		ty = 3286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1143 / 3286 ti = "12/1143/3286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1143/3286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1143 ÷ 212
    1143 ÷ 4096     		x = 0.279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3286 ÷ 212
    3286 ÷ 4096     		y = 0.80224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38825261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    -0.6044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89906821534814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38825261} λ = -1.38825261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89906821534814))-π/2
    2×atan(0.149708049916028)-π/2
    2×0.148604409633494-π/2
    0.297208819266988-1.57079632675     		φ = -1.27358751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38825261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.541015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27358751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.971189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1143 KachelY 3286 -1.38825261 -1.27358751 -79.541015 -72.971189
    Oben rechts KachelX + 1 1144 KachelY 3286 -1.38671863 -1.27358751 -79.453125 -72.971189
    Unten links KachelX 1143 KachelY + 1 3287 -1.38825261 -1.27403641 -79.541015 -72.996909
    Unten rechts KachelX + 1 1144 KachelY + 1 3287 -1.38671863 -1.27403641 -79.453125 -72.996909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27358751--1.27403641) × R
    0.000448899999999863 × 6371000     		dl = 2859.94189999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27358751--1.27403641) × R
    0.000448899999999863 × 6371000     		dr = 2859.94189999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38825261--1.38671863) × cos(-1.27358751) × R
    0.00153398000000005 × 0.292852539805578 × 6371000     		do = 2862.04394143891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38825261--1.38671863) × cos(-1.27403641) × R
    0.00153398000000005 × 0.292423291158863 × 6371000     		du = 2857.84890017509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27358751)-sin(-1.27403641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292852539805578-0.292423291158863)×R²
    abs(-1.38671863--1.38825261)×0.000429248646714564×R²
    0.00153398000000005×0.000429248646714564×6371000²
    0.00153398000000005×0.000429248646714564×40589641000000     		ar = 8179280.7379719m²