Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114296 / 17709
↖ ↑ ↗
← N 78.465865°
E133.923340°		 ← 61.06 m → N 78.465865°
E133.926086°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.465315°
E133.923340°		 ← 61.06 m →
3 731 m²		 N 78.465315°
E133.926086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872013092041016 y=0.135112762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872013092041016 × 217)
    floor (0.872013092041016 × 131072)
    floor (114296.5)     		tx = 114296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135112762451172 × 217)
    floor (0.135112762451172 × 131072)
    floor (17709.5)     		ty = 17709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114296 / 17709 ti = "17/114296/17709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114296/17709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114296 ÷ 217
    114296 ÷ 131072     		x = 0.87200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17709 ÷ 217
    17709 ÷ 131072     		y = 0.135108947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87200927734375 × 2 - 1) × π
    0.7440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33740323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135108947753906 × 2 - 1) × π
    0.729782104492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.29267809812843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33740323} λ = 2.33740323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29267809812843))-π/2
    2×atan(9.90141917749075)-π/2
    2×1.47014200628168-π/2
    2.94028401256336-1.57079632675     		φ = 1.36948769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33740323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36948769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.465865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114296 KachelY 17709 2.33740323 1.36948769 133.923340 78.465865
    Oben rechts KachelX + 1 114297 KachelY 17709 2.33745116 1.36948769 133.926086 78.465865
    Unten links KachelX 114296 KachelY + 1 17710 2.33740323 1.36947810 133.923340 78.465315
    Unten rechts KachelX + 1 114297 KachelY + 1 17710 2.33745116 1.36947810 133.926086 78.465315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36948769-1.36947810) × R
    9.58999999989274e-06 × 6371000     		dl = 61.0978899993166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36948769-1.36947810) × R
    9.58999999989274e-06 × 6371000     		dr = 61.0978899993166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33740323-2.33745116) × cos(1.36948769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199951711500609 × 6371000     		do = 61.0576605258376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33740323-2.33745116) × cos(1.36947810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199961107828582 × 6371000     		du = 61.0605298076222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36948769)-sin(1.36947810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199951711500609-0.199961107828582)×R²
    abs(2.33745116-2.33740323)×9.39632797378187e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.39632797378187e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.39632797378187e-06×40589641000000     		ar = 3730.5818799466m²