Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114295 / 18823
↖ ↑ ↗
← N 77.837798°
E133.920593°		 ← 64.35 m → N 77.837798°
E133.923340°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.837219°
E133.920593°		 ← 64.35 m →
4 141 m²		 N 77.837219°
E133.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872005462646484 y=0.143611907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872005462646484 × 217)
    floor (0.872005462646484 × 131072)
    floor (114295.5)     		tx = 114295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143611907958984 × 217)
    floor (0.143611907958984 × 131072)
    floor (18823.5)     		ty = 18823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114295 / 18823 ti = "17/114295/18823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114295/18823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114295 ÷ 217
    114295 ÷ 131072     		x = 0.872001647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18823 ÷ 217
    18823 ÷ 131072     		y = 0.143608093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872001647949219 × 2 - 1) × π
    0.744003295898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.33735529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143608093261719 × 2 - 1) × π
    0.712783813476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.23927639195168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33735529} λ = 2.33735529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23927639195168))-π/2
    2×atan(9.38653665594418)-π/2
    2×1.46466109102602-π/2
    2.92932218205203-1.57079632675     		φ = 1.35852586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33735529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.920593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35852586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.837798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114295 KachelY 18823 2.33735529 1.35852586 133.920593 77.837798
    Oben rechts KachelX + 1 114296 KachelY 18823 2.33740323 1.35852586 133.923340 77.837798
    Unten links KachelX 114295 KachelY + 1 18824 2.33735529 1.35851576 133.920593 77.837219
    Unten rechts KachelX + 1 114296 KachelY + 1 18824 2.33740323 1.35851576 133.923340 77.837219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35852586-1.35851576) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dl = 64.3471000007894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35852586-1.35851576) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dr = 64.3471000007894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33735529-2.33740323) × cos(1.35852586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210679947347312 × 6371000     		do = 64.3470788216717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33735529-2.33740323) × cos(1.35851576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210689820643005 × 6371000     		du = 64.350094380315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35852586)-sin(1.35851576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210679947347312-0.210689820643005)×R²
    abs(2.33740323-2.33735529)×9.87329569318574e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.87329569318574e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.87329569318574e-06×40589641000000     		ar = 4140.64493707272m²