Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114277 / 17563
↖ ↑ ↗
← N 78.545771°
E133.871155°		 ← 60.65 m → N 78.545771°
E133.873901°		 →
↑
60.65 m
↓
↑
60.65 m
↓
N 78.545226°
E133.871155°		 ← 60.66 m →
3 679 m²		 N 78.545226°
E133.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871868133544922 y=0.133998870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871868133544922 × 217)
    floor (0.871868133544922 × 131072)
    floor (114277.5)     		tx = 114277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133998870849609 × 217)
    floor (0.133998870849609 × 131072)
    floor (17563.5)     		ty = 17563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114277 / 17563 ti = "17/114277/17563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114277/17563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114277 ÷ 217
    114277 ÷ 131072     		x = 0.871864318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17563 ÷ 217
    17563 ÷ 131072     		y = 0.133995056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871864318847656 × 2 - 1) × π
    0.743728637695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.33649242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133995056152344 × 2 - 1) × π
    0.732009887695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.29967688547295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33649242} λ = 2.33649242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29967688547295))-π/2
    2×atan(9.97096017217936)-π/2
    2×1.47083932218517-π/2
    2.94167864437035-1.57079632675     		φ = 1.37088232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33649242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.871155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37088232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.545771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114277 KachelY 17563 2.33649242 1.37088232 133.871155 78.545771
    Oben rechts KachelX + 1 114278 KachelY 17563 2.33654036 1.37088232 133.873901 78.545771
    Unten links KachelX 114277 KachelY + 1 17564 2.33649242 1.37087280 133.871155 78.545226
    Unten rechts KachelX + 1 114278 KachelY + 1 17564 2.33654036 1.37087280 133.873901 78.545226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37088232-1.37087280) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dl = 60.6519200006124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37088232-1.37087280) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dr = 60.6519200006124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33649242-2.33654036) × cos(1.37088232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198585050994359 × 6371000     		do = 60.65298615285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33649242-2.33654036) × cos(1.37087280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198594381381788 × 6371000     		du = 60.6558358933351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37088232)-sin(1.37087280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198585050994359-0.198594381381788)×R²
    abs(2.33654036-2.33649242)×9.33038742928494e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33038742928494e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33038742928494e-06×40589641000000     		ar = 3678.80648512058m²