Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114275 / 17557
↖ ↑ ↗
← N 78.549043°
E133.865662°		 ← 60.64 m → N 78.549043°
E133.868408°		 →
↑
60.65 m
↓
↑
60.65 m
↓
N 78.548498°
E133.865662°		 ← 60.64 m →
3 678 m²		 N 78.548498°
E133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871852874755859 y=0.133953094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871852874755859 × 217)
    floor (0.871852874755859 × 131072)
    floor (114275.5)     		tx = 114275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.133953094482422 × 217)
    floor (0.133953094482422 × 131072)
    floor (17557.5)     		ty = 17557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114275 / 17557 ti = "17/114275/17557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114275/17557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114275 ÷ 217
    114275 ÷ 131072     		x = 0.871849060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17557 ÷ 217
    17557 ÷ 131072     		y = 0.133949279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871849060058594 × 2 - 1) × π
    0.743698120117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.33639655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133949279785156 × 2 - 1) × π
    0.732101440429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.29996450687067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33639655} λ = 2.33639655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29996450687067))-π/2
    2×atan(9.97382844614941)-π/2
    2×1.4708678768156-π/2
    2.94173575363121-1.57079632675     		φ = 1.37093943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33639655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.865662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37093943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.549043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114275 KachelY 17557 2.33639655 1.37093943 133.865662 78.549043
    Oben rechts KachelX + 1 114276 KachelY 17557 2.33644449 1.37093943 133.868408 78.549043
    Unten links KachelX 114275 KachelY + 1 17558 2.33639655 1.37092991 133.865662 78.548498
    Unten rechts KachelX + 1 114276 KachelY + 1 17558 2.33644449 1.37092991 133.868408 78.548498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37093943-1.37092991) × R
    9.51999999987407e-06 × 6371000     		dl = 60.6519199991977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37093943-1.37092991) × R
    9.51999999987407e-06 × 6371000     		dr = 60.6519199991977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33639655-2.33644449) × cos(1.37093943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198529078092809 × 6371000     		do = 60.6358905879741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33639655-2.33644449) × cos(1.37092991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198538408588193 × 6371000     		du = 60.6387403614315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37093943)-sin(1.37092991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198529078092809-0.198538408588193)×R²
    abs(2.33644449-2.33639655)×9.33049538454078e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33049538454078e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33049538454078e-06×40589641000000     		ar = 3677.76960724101m²