Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114270 / 17568
↖ ↑ ↗
← N 78.543043°
E133.851929°		 ← 60.65 m → N 78.543043°
E133.854675°		 →
↑
60.65 m
↓
↑
60.65 m
↓
N 78.542498°
E133.851929°		 ← 60.66 m →
3 679 m²		 N 78.542498°
E133.854675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871814727783203 y=0.134037017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871814727783203 × 217)
    floor (0.871814727783203 × 131072)
    floor (114270.5)     		tx = 114270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134037017822266 × 217)
    floor (0.134037017822266 × 131072)
    floor (17568.5)     		ty = 17568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114270 / 17568 ti = "17/114270/17568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114270/17568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114270 ÷ 217
    114270 ÷ 131072     		x = 0.871810913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17568 ÷ 217
    17568 ÷ 131072     		y = 0.134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871810913085938 × 2 - 1) × π
    0.743621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33615687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134033203125 × 2 - 1) × π
    0.73193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29943720097485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33615687} λ = 2.33615687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29943720097485))-π/2
    2×atan(9.96857057398118)-π/2
    2×1.47081552051023-π/2
    2.94163104102047-1.57079632675     		φ = 1.37083471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33615687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.851929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37083471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.543043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114270 KachelY 17568 2.33615687 1.37083471 133.851929 78.543043
    Oben rechts KachelX + 1 114271 KachelY 17568 2.33620480 1.37083471 133.854675 78.543043
    Unten links KachelX 114270 KachelY + 1 17569 2.33615687 1.37082519 133.851929 78.542498
    Unten rechts KachelX + 1 114271 KachelY + 1 17569 2.33620480 1.37082519 133.854675 78.542498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37083471-1.37082519) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dl = 60.6519200006124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37083471-1.37082519) × R
    9.52000000009612e-06 × 6371000     		dr = 60.6519200006124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33615687-2.33620480) × cos(1.37083471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198631712552251 × 6371000     		do = 60.6545829673691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33615687-2.33620480) × cos(1.37082519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19864104284966 × 6371000     		du = 60.6574320859262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37083471)-sin(1.37082519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198631712552251-0.19864104284966)×R²
    abs(2.33620480-2.33615687)×9.33029740846081e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.33029740846081e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.33029740846081e-06×40589641000000     		ar = 3678.90331602724m²