Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11427 / 23709
↖ ↑ ↗
← S 62.415816°
W 54.459229°		 ← 565.68 m → S 62.415816°
W 54.448242°		 →
↑
565.62 m
↓
↑
565.62 m
↓
S 62.420903°
W 54.459229°		 ← 565.59 m →
319 932 m²		 S 62.420903°
W 54.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348739624023438 y=0.723556518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348739624023438 × 215)
    floor (0.348739624023438 × 32768)
    floor (11427.5)     		tx = 11427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723556518554688 × 215)
    floor (0.723556518554688 × 32768)
    floor (23709.5)     		ty = 23709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11427 / 23709 ti = "15/11427/23709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11427/23709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11427 ÷ 215
    11427 ÷ 32768     		x = 0.348724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23709 ÷ 215
    23709 ÷ 32768     		y = 0.723541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.30255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95049285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.44708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40455115886765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95049285} λ = -0.95049285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40455115886765))-π/2
    2×atan(0.245477211999708)-π/2
    2×0.240717412483794-π/2
    0.481434824967588-1.57079632675     		φ = -1.08936150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95049285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.459229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08936150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.415816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11427 KachelY 23709 -0.95049285 -1.08936150 -54.459229 -62.415816
    Oben rechts KachelX + 1 11428 KachelY 23709 -0.95030110 -1.08936150 -54.448242 -62.415816
    Unten links KachelX 11427 KachelY + 1 23710 -0.95049285 -1.08945028 -54.459229 -62.420903
    Unten rechts KachelX + 1 11428 KachelY + 1 23710 -0.95030110 -1.08945028 -54.448242 -62.420903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08936150--1.08945028) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dl = 565.617380000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08936150--1.08945028) × R
    8.87800000000105e-05 × 6371000     		dr = 565.617380000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95049285--0.95030110) × cos(-1.08936150) × R
    0.000191749999999935 × 0.463051383848177 × 6371000     		do = 565.681745275557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95049285--0.95030110) × cos(-1.08945028) × R
    0.000191749999999935 × 0.462972693518459 × 6371000     		du = 565.585614080178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08936150)-sin(-1.08945028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463051383848177-0.462972693518459)×R²
    abs(-0.95030110--0.95049285)×7.86903297181896e-05×R²
    0.000191749999999935×7.86903297181896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.86903297181896e-05×40589641000000     		ar = 319932.240148878m²