Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114265 / 17720
↖ ↑ ↗
← N 78.459822°
E133.838196°		 ← 61.10 m → N 78.459822°
E133.840942°		 →
↑
61.10 m
↓
↑
61.10 m
↓
N 78.459272°
E133.838196°		 ← 61.10 m →
3 733 m²		 N 78.459272°
E133.840942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871776580810547 y=0.135196685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871776580810547 × 217)
    floor (0.871776580810547 × 131072)
    floor (114265.5)     		tx = 114265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135196685791016 × 217)
    floor (0.135196685791016 × 131072)
    floor (17720.5)     		ty = 17720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114265 / 17720 ti = "17/114265/17720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114265/17720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114265 ÷ 217
    114265 ÷ 131072     		x = 0.871772766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17720 ÷ 217
    17720 ÷ 131072     		y = 0.13519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871772766113281 × 2 - 1) × π
    0.743545532226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.33591718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13519287109375 × 2 - 1) × π
    0.7296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29215079223261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33591718} λ = 2.33591718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29215079223261))-π/2
    2×atan(9.89619947709181)-π/2
    2×1.47008927480163-π/2
    2.94017854960326-1.57079632675     		φ = 1.36938222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33591718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.838196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36938222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.459822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114265 KachelY 17720 2.33591718 1.36938222 133.838196 78.459822
    Oben rechts KachelX + 1 114266 KachelY 17720 2.33596512 1.36938222 133.840942 78.459822
    Unten links KachelX 114265 KachelY + 1 17721 2.33591718 1.36937263 133.838196 78.459272
    Unten rechts KachelX + 1 114266 KachelY + 1 17721 2.33596512 1.36937263 133.840942 78.459272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36938222-1.36937263) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dl = 61.0978900007313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36938222-1.36937263) × R
    9.59000000011478e-06 × 6371000     		dr = 61.0978900007313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33591718-2.33596512) × cos(1.36938222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200055050501033 × 6371000     		do = 61.1019618399753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33591718-2.33596512) × cos(1.36937263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200064446626707 × 6371000     		du = 61.1048316586125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36938222)-sin(1.36937263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200055050501033-0.200064446626707)×R²
    abs(2.33596512-2.33591718)×9.39612567435466e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.39612567435466e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.39612567435466e-06×40589641000000     		ar = 3733.28861338049m²