Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11424 / 23712
↖ ↑ ↗
← S 62.431074°
W 54.492188°		 ← 565.39 m → S 62.431074°
W 54.481201°		 →
↑
565.36 m
↓
↑
565.36 m
↓
S 62.436159°
W 54.492188°		 ← 565.30 m →
319 625 m²		 S 62.436159°
W 54.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348648071289062 y=0.723648071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348648071289062 × 215)
    floor (0.348648071289062 × 32768)
    floor (11424.5)     		tx = 11424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723648071289062 × 215)
    floor (0.723648071289062 × 32768)
    floor (23712.5)     		ty = 23712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11424 / 23712 ti = "15/11424/23712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11424/23712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11424 ÷ 215
    11424 ÷ 32768     		x = 0.3486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23712 ÷ 215
    23712 ÷ 32768     		y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3486328125 × 2 - 1) × π
    -0.302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95106809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95106809} λ = -0.95106809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675     		φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95106809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11424 KachelY 23712 -0.95106809 -1.08962780 -54.492188 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 11425 KachelY 23712 -0.95087634 -1.08962780 -54.481201 -62.431074
    Unten links KachelX 11424 KachelY + 1 23713 -0.95106809 -1.08971654 -54.492188 -62.436159
    Unten rechts KachelX + 1 11425 KachelY + 1 23713 -0.95087634 -1.08971654 -54.481201 -62.436159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08962780--1.08971654) × R
    8.87400000000316e-05 × 6371000     		dl = 565.362540000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08962780--1.08971654) × R
    8.87400000000316e-05 × 6371000     		dr = 565.362540000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95106809--0.95087634) × cos(-1.08962780) × R
    0.000191750000000046 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 565.393381633972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95106809--0.95087634) × cos(-1.08971654) × R
    0.000191750000000046 × 0.462736671556855 × 6371000     		du = 565.297280388348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.08971654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.462736671556855)×R²
    abs(-0.95087634--0.95106809)×7.8665813679657e-05×R²
    0.000191750000000046×7.8665813679657e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.8665813679657e-05×40589641000000     		ar = 319625.072527936m²