Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114227 / 18101
↖ ↑ ↗
← N 78.248591°
E133.733826°		 ← 62.20 m → N 78.248591°
E133.736572°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.248031°
E133.733826°		 ← 62.21 m →
3 872 m²		 N 78.248031°
E133.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871486663818359 y=0.138103485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871486663818359 × 217)
    floor (0.871486663818359 × 131072)
    floor (114227.5)     		tx = 114227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138103485107422 × 217)
    floor (0.138103485107422 × 131072)
    floor (18101.5)     		ty = 18101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114227 / 18101 ti = "17/114227/18101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114227/18101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114227 ÷ 217
    114227 ÷ 131072     		x = 0.871482849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18101 ÷ 217
    18101 ÷ 131072     		y = 0.138099670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871482849121094 × 2 - 1) × π
    0.742965698242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.33409558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138099670410156 × 2 - 1) × π
    0.723800659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.27388683347736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33409558} λ = 2.33409558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27388683347736))-π/2
    2×atan(9.71709624366977)-π/2
    2×1.46824593650478-π/2
    2.93649187300957-1.57079632675     		φ = 1.36569555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33409558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.733826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36569555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.248591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114227 KachelY 18101 2.33409558 1.36569555 133.733826 78.248591
    Oben rechts KachelX + 1 114228 KachelY 18101 2.33414352 1.36569555 133.736572 78.248591
    Unten links KachelX 114227 KachelY + 1 18102 2.33409558 1.36568578 133.733826 78.248031
    Unten rechts KachelX + 1 114228 KachelY + 1 18102 2.33414352 1.36568578 133.736572 78.248031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36569555-1.36568578) × R
    9.77000000013106e-06 × 6371000     		dl = 62.244670000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36569555-1.36568578) × R
    9.77000000013106e-06 × 6371000     		dr = 62.244670000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33409558-2.33414352) × cos(1.36569555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203665825498929 × 6371000     		do = 62.2047854656804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33409558-2.33414352) × cos(1.36568578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203675390714549 × 6371000     		du = 62.2077069287394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36569555)-sin(1.36568578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203665825498929-0.203675390714549)×R²
    abs(2.33414352-2.33409558)×9.56521561987222e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.56521561987222e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.56521561987222e-06×40589641000000     		ar = 3872.00726667425m²