Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114225 / 18065
↖ ↑ ↗
← N 78.268712°
E133.728333°		 ← 62.09 m → N 78.268712°
E133.731079°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.268153°
E133.728333°		 ← 62.09 m →
3 857 m²		 N 78.268153°
E133.731079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871471405029297 y=0.137828826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871471405029297 × 217)
    floor (0.871471405029297 × 131072)
    floor (114225.5)     		tx = 114225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137828826904297 × 217)
    floor (0.137828826904297 × 131072)
    floor (18065.5)     		ty = 18065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114225 / 18065 ti = "17/114225/18065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114225/18065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114225 ÷ 217
    114225 ÷ 131072     		x = 0.871467590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18065 ÷ 217
    18065 ÷ 131072     		y = 0.137825012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871467590332031 × 2 - 1) × π
    0.742935180664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.33399971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137825012207031 × 2 - 1) × π
    0.724349975585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27561256186369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33399971} λ = 2.33399971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27561256186369))-π/2
    2×atan(9.73387979024615)-π/2
    2×1.4684215240781-π/2
    2.93684304815621-1.57079632675     		φ = 1.36604672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33399971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.728333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36604672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.268712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114225 KachelY 18065 2.33399971 1.36604672 133.728333 78.268712
    Oben rechts KachelX + 1 114226 KachelY 18065 2.33404764 1.36604672 133.731079 78.268712
    Unten links KachelX 114225 KachelY + 1 18066 2.33399971 1.36603697 133.728333 78.268153
    Unten rechts KachelX + 1 114226 KachelY + 1 18066 2.33404764 1.36603697 133.731079 78.268153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36604672-1.36603697) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36604672-1.36603697) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33399971-2.33404764) × cos(1.36604672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203322003307934 × 6371000     		do = 62.0868196738154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33399971-2.33404764) × cos(1.36603697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203331549639545 × 6371000     		du = 62.0897347610152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36604672)-sin(1.36603697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203322003307934-0.203331549639545)×R²
    abs(2.33404764-2.33399971)×9.54633161093232e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.54633161093232e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.54633161093232e-06×40589641000000     		ar = 3856.75303801573m²