Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11420 / 23706
↖ ↑ ↗
← S 62.400551°
W 54.536133°		 ← 565.97 m → S 62.400551°
W 54.525146°		 →
↑
565.87 m
↓
↑
565.87 m
↓
S 62.405640°
W 54.536133°		 ← 565.87 m →
320 240 m²		 S 62.405640°
W 54.525146°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348526000976562 y=0.723464965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348526000976562 × 215)
    floor (0.348526000976562 × 32768)
    floor (11420.5)     		tx = 11420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723464965820312 × 215)
    floor (0.723464965820312 × 32768)
    floor (23706.5)     		ty = 23706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11420 / 23706 ti = "15/11420/23706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11420/23706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11420 ÷ 215
    11420 ÷ 32768     		x = 0.3485107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23706 ÷ 215
    23706 ÷ 32768     		y = 0.72344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95183508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4039759160722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95183508} λ = -0.95183508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4039759160722))-π/2
    2×atan(0.245618461619874)-π/2
    2×0.240850629925947-π/2
    0.481701259851894-1.57079632675     		φ = -1.08909507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95183508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08909507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.400551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11420 KachelY 23706 -0.95183508 -1.08909507 -54.536133 -62.400551
    Oben rechts KachelX + 1 11421 KachelY 23706 -0.95164333 -1.08909507 -54.525146 -62.400551
    Unten links KachelX 11420 KachelY + 1 23707 -0.95183508 -1.08918389 -54.536133 -62.405640
    Unten rechts KachelX + 1 11421 KachelY + 1 23707 -0.95164333 -1.08918389 -54.525146 -62.405640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08909507--1.08918389) × R
    8.88199999999895e-05 × 6371000     		dl = 565.872219999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08909507--1.08918389) × R
    8.88199999999895e-05 × 6371000     		dr = 565.872219999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95183508--0.95164333) × cos(-1.08909507) × R
    0.000191749999999935 × 0.46328751269526 × 6371000     		do = 565.970209543211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95183508--0.95164333) × cos(-1.08918389) × R
    0.000191749999999935 × 0.463208797870295 × 6371000     		du = 565.874048423477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08909507)-sin(-1.08918389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46328751269526-0.463208797870295)×R²
    abs(-0.95164333--0.95183508)×7.8714824965076e-05×R²
    0.000191749999999935×7.8714824965076e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.8714824965076e-05×40589641000000     		ar = 320239.611684873m²