Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1142 / 1190
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
E 20.742188°		 ← 17.259 km → S 27.994402°
E 20.917969°		 →
↑
17.246 km
↓
↑
17.246 km
↓
S 28.149503°
E 20.742188°		 ← 17.234 km →
297.442 km²		 S 28.149503°
E 20.917969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557861328125 y=0.581298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557861328125 × 211)
    floor (0.557861328125 × 2048)
    floor (1142.5)     		tx = 1142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581298828125 × 211)
    floor (0.581298828125 × 2048)
    floor (1190.5)     		ty = 1190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1142 / 1190 ti = "11/1142/1190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1142/1190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1142 ÷ 211
    1142 ÷ 2048     		x = 0.5576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1190 ÷ 211
    1190 ÷ 2048     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36201947} λ = 0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1142 KachelY 1190 0.36201947 -0.48859448 20.742188 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 1143 KachelY 1190 0.36508743 -0.48859448 20.917969 -27.994402
    Unten links KachelX 1142 KachelY + 1 1191 0.36201947 -0.49130151 20.742188 -28.149503
    Unten rechts KachelX + 1 1143 KachelY + 1 1191 0.36508743 -0.49130151 20.917969 -28.149503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.49130151) × R
    0.00270703 × 6371000     		dl = 17246.48813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.49130151) × R
    0.00270703 × 6371000     		dr = 17246.48813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36201947-0.36508743) × cos(-0.48859448) × R
    0.00306795999999998 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 17258.966488624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36201947-0.36508743) × cos(-0.49130151) × R
    0.00306795999999998 × 0.881719587179151 × 6371000     		du = 17234.0673856499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.49130151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.881719587179151)×R²
    abs(0.36508743-0.36201947)×0.00127387379335497×R²
    0.00306795999999998×0.00127387379335497×6371000²
    0.00306795999999998×0.00127387379335497×40589641000000     		ar = 297442031.278412m²