Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114198 / 17774
↖ ↑ ↗
← N 78.430113°
E133.654175°		 ← 61.26 m → N 78.430113°
E133.656922°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.429562°
E133.654175°		 ← 61.26 m →
3 751 m²		 N 78.429562°
E133.656922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871265411376953 y=0.135608673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871265411376953 × 217)
    floor (0.871265411376953 × 131072)
    floor (114198.5)     		tx = 114198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135608673095703 × 217)
    floor (0.135608673095703 × 131072)
    floor (17774.5)     		ty = 17774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114198 / 17774 ti = "17/114198/17774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114198/17774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114198 ÷ 217
    114198 ÷ 131072     		x = 0.871261596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17774 ÷ 217
    17774 ÷ 131072     		y = 0.135604858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871261596679688 × 2 - 1) × π
    0.742523193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33270541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135604858398438 × 2 - 1) × π
    0.728790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28956219965312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33270541} λ = 2.33270541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28956219965312))-π/2
    2×atan(9.8706153762533)-π/2
    2×1.46983001567145-π/2
    2.93966003134289-1.57079632675     		φ = 1.36886370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33270541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.654175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36886370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.430113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114198 KachelY 17774 2.33270541 1.36886370 133.654175 78.430113
    Oben rechts KachelX + 1 114199 KachelY 17774 2.33275335 1.36886370 133.656922 78.430113
    Unten links KachelX 114198 KachelY + 1 17775 2.33270541 1.36885409 133.654175 78.429562
    Unten rechts KachelX + 1 114199 KachelY + 1 17775 2.33275335 1.36885409 133.656922 78.429562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36886370-1.36885409) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36886370-1.36885409) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33270541-2.33275335) × cos(1.36886370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200563061525625 × 6371000     		do = 61.2571214830893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33270541-2.33275335) × cos(1.36885409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200572476248795 × 6371000     		du = 61.2599969818804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36886370)-sin(1.36885409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200563061525625-0.200572476248795)×R²
    abs(2.33275335-2.33270541)×9.414723170037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.414723170037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.414723170037e-06×40589641000000     		ar = 3750.57427923452m²