Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114192 / 18055
↖ ↑ ↗
← N 78.274295°
E133.637695°		 ← 62.06 m → N 78.274295°
E133.640442°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.273737°
E133.637695°		 ← 62.06 m →
3 851 m²		 N 78.273737°
E133.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871219635009766 y=0.137752532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871219635009766 × 217)
    floor (0.871219635009766 × 131072)
    floor (114192.5)     		tx = 114192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137752532958984 × 217)
    floor (0.137752532958984 × 131072)
    floor (18055.5)     		ty = 18055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114192 / 18055 ti = "17/114192/18055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114192/18055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114192 ÷ 217
    114192 ÷ 131072     		x = 0.8712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18055 ÷ 217
    18055 ÷ 131072     		y = 0.137748718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8712158203125 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137748718261719 × 2 - 1) × π
    0.724502563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27609193085989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33241779} λ = 2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27609193085989))-π/2
    2×atan(9.73854702900575)-π/2
    2×1.46847024577522-π/2
    2.93694049155044-1.57079632675     		φ = 1.36614416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36614416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.274295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114192 KachelY 18055 2.33241779 1.36614416 133.637695 78.274295
    Oben rechts KachelX + 1 114193 KachelY 18055 2.33246572 1.36614416 133.640442 78.274295
    Unten links KachelX 114192 KachelY + 1 18056 2.33241779 1.36613442 133.637695 78.273737
    Unten rechts KachelX + 1 114193 KachelY + 1 18056 2.33246572 1.36613442 133.640442 78.273737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36614416-1.36613442) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dl = 62.0535399991673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36614416-1.36613442) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dr = 62.0535399991673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33241779-2.33246572) × cos(1.36614416) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203226597676823 × 6371000     		do = 62.0576864166258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33241779-2.33246572) × cos(1.36613442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203236134410259 × 6371000     		du = 62.0605985729076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36614416)-sin(1.36613442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203226597676823-0.203236134410259)×R²
    abs(2.33246572-2.33241779)×9.53673343648265e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.53673343648265e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.53673343648265e-06×40589641000000     		ar = 3850.98948107955m²