Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114192 / 17776
↖ ↑ ↗
← N 78.429011°
E133.637695°		 ← 61.25 m → N 78.429011°
E133.640442°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.428460°
E133.637695°		 ← 61.25 m →
3 750 m²		 N 78.428460°
E133.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871219635009766 y=0.135623931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871219635009766 × 217)
    floor (0.871219635009766 × 131072)
    floor (114192.5)     		tx = 114192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135623931884766 × 217)
    floor (0.135623931884766 × 131072)
    floor (17776.5)     		ty = 17776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114192 / 17776 ti = "17/114192/17776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114192/17776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114192 ÷ 217
    114192 ÷ 131072     		x = 0.8712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17776 ÷ 217
    17776 ÷ 131072     		y = 0.1356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8712158203125 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1356201171875 × 2 - 1) × π
    0.728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28946632585388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33241779} λ = 2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28946632585388))-π/2
    2×atan(9.86966908821918)-π/2
    2×1.46982040084878-π/2
    2.93964080169756-1.57079632675     		φ = 1.36884447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36884447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.429011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114192 KachelY 17776 2.33241779 1.36884447 133.637695 78.429011
    Oben rechts KachelX + 1 114193 KachelY 17776 2.33246572 1.36884447 133.640442 78.429011
    Unten links KachelX 114192 KachelY + 1 17777 2.33241779 1.36883486 133.637695 78.428460
    Unten rechts KachelX + 1 114193 KachelY + 1 17777 2.33246572 1.36883486 133.640442 78.428460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36884447-1.36883486) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36884447-1.36883486) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33241779-2.33246572) × cos(1.36884447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200581900750211 × 6371000     		do = 61.2500963943804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33241779-2.33246572) × cos(1.36883486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200591315436314 × 6371000     		du = 61.2529712820407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36884447)-sin(1.36883486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200581900750211-0.200591315436314)×R²
    abs(2.33246572-2.33241779)×9.41468610332619e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.41468610332619e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.41468610332619e-06×40589641000000     		ar = 3750.14414743929m²