Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114187 / 17822
↖ ↑ ↗
← N 78.403642°
E133.623962°		 ← 61.40 m → N 78.403642°
E133.626709°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.403090°
E133.623962°		 ← 61.40 m →
3 767 m²		 N 78.403090°
E133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871181488037109 y=0.135974884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871181488037109 × 217)
    floor (0.871181488037109 × 131072)
    floor (114187.5)     		tx = 114187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135974884033203 × 217)
    floor (0.135974884033203 × 131072)
    floor (17822.5)     		ty = 17822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114187 / 17822 ti = "17/114187/17822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114187/17822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114187 ÷ 217
    114187 ÷ 131072     		x = 0.871177673339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17822 ÷ 217
    17822 ÷ 131072     		y = 0.135971069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871177673339844 × 2 - 1) × π
    0.742355346679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.33217810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135971069335938 × 2 - 1) × π
    0.728057861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28726122847136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33217810} λ = 2.33217810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28726122847136))-π/2
    2×atan(9.84792948452697)-π/2
    2×1.46959901050233-π/2
    2.93919802100465-1.57079632675     		φ = 1.36840169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33217810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.623962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36840169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.403642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114187 KachelY 17822 2.33217810 1.36840169 133.623962 78.403642
    Oben rechts KachelX + 1 114188 KachelY 17822 2.33222604 1.36840169 133.626709 78.403642
    Unten links KachelX 114187 KachelY + 1 17823 2.33217810 1.36839206 133.623962 78.403090
    Unten rechts KachelX + 1 114188 KachelY + 1 17823 2.33222604 1.36839206 133.626709 78.403090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36840169-1.36839206) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36840169-1.36839206) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33217810-2.33222604) × cos(1.36840169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201015662427793 × 6371000     		do = 61.3953574485585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33217810-2.33222604) × cos(1.36839206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201025095851176 × 6371000     		du = 61.398238658876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36840169)-sin(1.36839206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201015662427793-0.201025095851176)×R²
    abs(2.33222604-2.33217810)×9.43342338319275e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43342338319275e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43342338319275e-06×40589641000000     		ar = 3766.86117378183m²