Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114186 / 17823
↖ ↑ ↗
← N 78.403090°
E133.621216°		 ← 61.39 m → N 78.403090°
E133.623962°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.402537°
E133.621216°		 ← 61.39 m →
3 770 m²		 N 78.402537°
E133.623962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871173858642578 y=0.135982513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871173858642578 × 217)
    floor (0.871173858642578 × 131072)
    floor (114186.5)     		tx = 114186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135982513427734 × 217)
    floor (0.135982513427734 × 131072)
    floor (17823.5)     		ty = 17823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114186 / 17823 ti = "17/114186/17823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114186/17823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114186 ÷ 217
    114186 ÷ 131072     		x = 0.871170043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17823 ÷ 217
    17823 ÷ 131072     		y = 0.135978698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871170043945312 × 2 - 1) × π
    0.742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33213017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135978698730469 × 2 - 1) × π
    0.728042602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.28721329157174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33213017} λ = 2.33213017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28721329157174))-π/2
    2×atan(9.84745741663463)-π/2
    2×1.46959419235548-π/2
    2.93918838471097-1.57079632675     		φ = 1.36839206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33213017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36839206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.403090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114186 KachelY 17823 2.33213017 1.36839206 133.621216 78.403090
    Oben rechts KachelX + 1 114187 KachelY 17823 2.33217810 1.36839206 133.623962 78.403090
    Unten links KachelX 114186 KachelY + 1 17824 2.33213017 1.36838242 133.621216 78.402537
    Unten rechts KachelX + 1 114187 KachelY + 1 17824 2.33217810 1.36838242 133.623962 78.402537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36839206-1.36838242) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dl = 61.4164399987953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36839206-1.36838242) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dr = 61.4164399987953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33213017-2.33217810) × cos(1.36839206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201025095851176 × 6371000     		do = 61.3854313500972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33213017-2.33217810) × cos(1.36838242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201034539051758 × 6371000     		du = 61.3883149449966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36839206)-sin(1.36838242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201025095851176-0.201034539051758)×R²
    abs(2.33217810-2.33213017)×9.44320058202108e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.44320058202108e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.44320058202108e-06×40589641000000     		ar = 3770.16321158329m²