Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114184 / 17854
↖ ↑ ↗
← N 78.385961°
E133.615723°		 ← 61.49 m → N 78.385961°
E133.618469°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.385408°
E133.615723°		 ← 61.49 m →
3 780 m²		 N 78.385408°
E133.618469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871158599853516 y=0.136219024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871158599853516 × 217)
    floor (0.871158599853516 × 131072)
    floor (114184.5)     		tx = 114184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136219024658203 × 217)
    floor (0.136219024658203 × 131072)
    floor (17854.5)     		ty = 17854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114184 / 17854 ti = "17/114184/17854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114184/17854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114184 ÷ 217
    114184 ÷ 131072     		x = 0.87115478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17854 ÷ 217
    17854 ÷ 131072     		y = 0.136215209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87115478515625 × 2 - 1) × π
    0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136215209960938 × 2 - 1) × π
    0.727569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28572724768352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33203429} λ = 2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28572724768352))-π/2
    2×atan(9.83283453054238)-π/2
    2×1.46944471752921-π/2
    2.93888943505842-1.57079632675     		φ = 1.36809311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36809311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.385961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114184 KachelY 17854 2.33203429 1.36809311 133.615723 78.385961
    Oben rechts KachelX + 1 114185 KachelY 17854 2.33208223 1.36809311 133.618469 78.385961
    Unten links KachelX 114184 KachelY + 1 17855 2.33203429 1.36808346 133.615723 78.385408
    Unten rechts KachelX + 1 114185 KachelY + 1 17855 2.33208223 1.36808346 133.618469 78.385408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36809311-1.36808346) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36809311-1.36808346) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33203429-2.33208223) × cos(1.36809311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201317934125978 × 6371000     		do = 61.4876790056576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33203429-2.33208223) × cos(1.36808346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201327386542034 × 6371000     		du = 61.4905660168266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36809311)-sin(1.36808346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201317934125978-0.201327386542034)×R²
    abs(2.33208223-2.33203429)×9.45241605687652e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45241605687652e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45241605687652e-06×40589641000000     		ar = 3780.36047523288m²