Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114182 / 17818
↖ ↑ ↗
← N 78.405850°
E133.610230°		 ← 61.38 m → N 78.405850°
E133.612976°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.405298°
E133.610230°		 ← 61.39 m →
3 766 m²		 N 78.405298°
E133.612976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871143341064453 y=0.135944366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871143341064453 × 217)
    floor (0.871143341064453 × 131072)
    floor (114182.5)     		tx = 114182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135944366455078 × 217)
    floor (0.135944366455078 × 131072)
    floor (17818.5)     		ty = 17818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114182 / 17818 ti = "17/114182/17818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114182/17818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114182 ÷ 217
    114182 ÷ 131072     		x = 0.871139526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17818 ÷ 217
    17818 ÷ 131072     		y = 0.135940551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871139526367188 × 2 - 1) × π
    0.742279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33193842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135940551757812 × 2 - 1) × π
    0.728118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28745297606984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33193842} λ = 2.33193842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28745297606984))-π/2
    2×atan(9.84981798240731)-π/2
    2×1.46961828082733-π/2
    2.93923656165465-1.57079632675     		φ = 1.36844023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33193842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.610230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36844023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.405850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114182 KachelY 17818 2.33193842 1.36844023 133.610230 78.405850
    Oben rechts KachelX + 1 114183 KachelY 17818 2.33198636 1.36844023 133.612976 78.405850
    Unten links KachelX 114182 KachelY + 1 17819 2.33193842 1.36843060 133.610230 78.405298
    Unten rechts KachelX + 1 114183 KachelY + 1 17819 2.33198636 1.36843060 133.612976 78.405298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36844023-1.36843060) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36844023-1.36843060) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33193842-2.33198636) × cos(1.36844023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200977908955938 × 6371000     		do = 61.3838265664797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33193842-2.33198636) × cos(1.36843060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200987342453921 × 6371000     		du = 61.3867077995819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36844023)-sin(1.36843060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200977908955938-0.200987342453921)×R²
    abs(2.33198636-2.33193842)×9.43349798290805e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43349798290805e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43349798290805e-06×40589641000000     		ar = 3766.15372350996m²