Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114178 / 17815
↖ ↑ ↗
← N 78.407506°
E133.599243°		 ← 61.38 m → N 78.407506°
E133.601990°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.406954°
E133.599243°		 ← 61.38 m →
3 770 m²		 N 78.406954°
E133.601990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871112823486328 y=0.135921478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871112823486328 × 217)
    floor (0.871112823486328 × 131072)
    floor (114178.5)     		tx = 114178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135921478271484 × 217)
    floor (0.135921478271484 × 131072)
    floor (17815.5)     		ty = 17815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114178 / 17815 ti = "17/114178/17815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114178/17815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114178 ÷ 217
    114178 ÷ 131072     		x = 0.871109008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17815 ÷ 217
    17815 ÷ 131072     		y = 0.135917663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871109008789062 × 2 - 1) × π
    0.742218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33174667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135917663574219 × 2 - 1) × π
    0.728164672851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2875967867687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33174667} λ = 2.33174667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2875967867687))-π/2
    2×atan(9.85123459347448)-π/2
    2×1.46963273119587-π/2
    2.93926546239174-1.57079632675     		φ = 1.36846914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33174667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36846914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.407506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114178 KachelY 17815 2.33174667 1.36846914 133.599243 78.407506
    Oben rechts KachelX + 1 114179 KachelY 17815 2.33179461 1.36846914 133.601990 78.407506
    Unten links KachelX 114178 KachelY + 1 17816 2.33174667 1.36845950 133.599243 78.406954
    Unten rechts KachelX + 1 114179 KachelY + 1 17816 2.33179461 1.36845950 133.601990 78.406954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36846914-1.36845950) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36846914-1.36845950) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33174667-2.33179461) × cos(1.36846914) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.200949588758133 × 6371000     		do = 61.3751768496767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33174667-2.33179461) × cos(1.36845950) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.200959032108062 × 6371000     		du = 61.3780610918171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36846914)-sin(1.36845950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200949588758133-0.200959032108062)×R²
    abs(2.33179461-2.33174667)×9.44334992963869e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.44334992963869e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.44334992963869e-06×40589641000000     		ar = 3769.53343636817m²