Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114174 / 17918
↖ ↑ ↗
← N 78.350520°
E133.588257°		 ← 61.67 m → N 78.350520°
E133.591003°		 →
↑
61.67 m
↓
↑
61.67 m
↓
N 78.349965°
E133.588257°		 ← 61.68 m →
3 804 m²		 N 78.349965°
E133.591003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871082305908203 y=0.136707305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871082305908203 × 217)
    floor (0.871082305908203 × 131072)
    floor (114174.5)     		tx = 114174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136707305908203 × 217)
    floor (0.136707305908203 × 131072)
    floor (17918.5)     		ty = 17918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114174 / 17918 ti = "17/114174/17918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114174/17918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114174 ÷ 217
    114174 ÷ 131072     		x = 0.871078491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17918 ÷ 217
    17918 ÷ 131072     		y = 0.136703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871078491210938 × 2 - 1) × π
    0.742156982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33155492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136703491210938 × 2 - 1) × π
    0.726593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28265928610783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33155492} λ = 2.33155492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28265928610783))-π/2
    2×atan(9.80271399996336)-π/2
    2×1.46913543521628-π/2
    2.93827087043256-1.57079632675     		φ = 1.36747454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33155492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.588257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36747454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.350520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114174 KachelY 17918 2.33155492 1.36747454 133.588257 78.350520
    Oben rechts KachelX + 1 114175 KachelY 17918 2.33160286 1.36747454 133.591003 78.350520
    Unten links KachelX 114174 KachelY + 1 17919 2.33155492 1.36746486 133.588257 78.349965
    Unten rechts KachelX + 1 114175 KachelY + 1 17919 2.33160286 1.36746486 133.591003 78.349965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36747454-1.36746486) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dl = 61.6712800000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36747454-1.36746486) × R
    9.6800000000119e-06 × 6371000     		dr = 61.6712800000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33155492-2.33160286) × cos(1.36747454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201923800940051 × 6371000     		do = 61.6727263256875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33155492-2.33160286) × cos(1.36746486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201933281534543 × 6371000     		du = 61.6756219432758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36747454)-sin(1.36746486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201923800940051-0.201933281534543)×R²
    abs(2.33160286-2.33155492)×9.48059449179528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.48059449179528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.48059449179528e-06×40589641000000     		ar = 3803.52526171499m²