Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114171 / 17933
↖ ↑ ↗
← N 78.342198°
E133.580017°		 ← 61.72 m → N 78.342198°
E133.582764°		 →
↑
61.73 m
↓
↑
61.73 m
↓
N 78.341643°
E133.580017°		 ← 61.72 m →
3 810 m²		 N 78.341643°
E133.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871059417724609 y=0.136821746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871059417724609 × 217)
    floor (0.871059417724609 × 131072)
    floor (114171.5)     		tx = 114171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136821746826172 × 217)
    floor (0.136821746826172 × 131072)
    floor (17933.5)     		ty = 17933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114171 / 17933 ti = "17/114171/17933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114171/17933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114171 ÷ 217
    114171 ÷ 131072     		x = 0.871055603027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17933 ÷ 217
    17933 ÷ 131072     		y = 0.136817932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871055603027344 × 2 - 1) × π
    0.742111206054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.33141111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136817932128906 × 2 - 1) × π
    0.726364135742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28194023261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33141111} λ = 2.33141111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28194023261353))-π/2
    2×atan(9.79566785778822)-π/2
    2×1.46906281264156-π/2
    2.93812562528313-1.57079632675     		φ = 1.36732930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33141111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.580017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36732930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.342198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114171 KachelY 17933 2.33141111 1.36732930 133.580017 78.342198
    Oben rechts KachelX + 1 114172 KachelY 17933 2.33145905 1.36732930 133.582764 78.342198
    Unten links KachelX 114171 KachelY + 1 17934 2.33141111 1.36731961 133.580017 78.341643
    Unten rechts KachelX + 1 114172 KachelY + 1 17934 2.33145905 1.36731961 133.582764 78.341643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36732930-1.36731961) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dl = 61.7349899996886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36732930-1.36731961) × R
    9.68999999995113e-06 × 6371000     		dr = 61.7349899996886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33141111-2.33145905) × cos(1.36732930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202066047045129 × 6371000     		do = 61.7161719475927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33141111-2.33145905) × cos(1.36731961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202075537149324 × 6371000     		du = 61.7190704696892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36732930)-sin(1.36731961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202066047045129-0.202075537149324)×R²
    abs(2.33145905-2.33141111)×9.49010419512564e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.49010419512564e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.49010419512564e-06×40589641000000     		ar = 3810.1367282352m²