Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114165 / 17819
↖ ↑ ↗
← N 78.405298°
E133.563538°		 ← 61.39 m → N 78.405298°
E133.566284°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.404746°
E133.563538°		 ← 61.39 m →
3 766 m²		 N 78.404746°
E133.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871013641357422 y=0.135951995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871013641357422 × 217)
    floor (0.871013641357422 × 131072)
    floor (114165.5)     		tx = 114165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135951995849609 × 217)
    floor (0.135951995849609 × 131072)
    floor (17819.5)     		ty = 17819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114165 / 17819 ti = "17/114165/17819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114165/17819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114165 ÷ 217
    114165 ÷ 131072     		x = 0.871009826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17819 ÷ 217
    17819 ÷ 131072     		y = 0.135948181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871009826660156 × 2 - 1) × π
    0.742019653320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.33112349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135948181152344 × 2 - 1) × π
    0.728103637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.28740503917022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33112349} λ = 2.33112349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28740503917022))-π/2
    2×atan(9.84934582398841)-π/2
    2×1.46961346358541-π/2
    2.93922692717082-1.57079632675     		φ = 1.36843060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33112349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.563538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36843060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.405298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114165 KachelY 17819 2.33112349 1.36843060 133.563538 78.405298
    Oben rechts KachelX + 1 114166 KachelY 17819 2.33117143 1.36843060 133.566284 78.405298
    Unten links KachelX 114165 KachelY + 1 17820 2.33112349 1.36842097 133.563538 78.404746
    Unten rechts KachelX + 1 114166 KachelY + 1 17820 2.33117143 1.36842097 133.566284 78.404746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36843060-1.36842097) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dl = 61.3527299991825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36843060-1.36842097) × R
    9.62999999987169e-06 × 6371000     		dr = 61.3527299991825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33112349-2.33117143) × cos(1.36843060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200987342453921 × 6371000     		do = 61.3867077995819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33112349-2.33117143) × cos(1.36842097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200996775933264 × 6371000     		du = 61.3895890269912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36843060)-sin(1.36842097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200987342453921-0.200996775933264)×R²
    abs(2.33117143-2.33112349)×9.43347934379002e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43347934379002e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43347934379002e-06×40589641000000     		ar = 3766.33049474927m²