Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114163 / 17821
↖ ↑ ↗
← N 78.404194°
E133.558045°		 ← 61.38 m → N 78.404194°
E133.560791°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.403642°
E133.558045°		 ← 61.38 m →
3 770 m²		 N 78.403642°
E133.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870998382568359 y=0.135967254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870998382568359 × 217)
    floor (0.870998382568359 × 131072)
    floor (114163.5)     		tx = 114163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135967254638672 × 217)
    floor (0.135967254638672 × 131072)
    floor (17821.5)     		ty = 17821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114163 / 17821 ti = "17/114163/17821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114163/17821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114163 ÷ 217
    114163 ÷ 131072     		x = 0.870994567871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17821 ÷ 217
    17821 ÷ 131072     		y = 0.135963439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870994567871094 × 2 - 1) × π
    0.741989135742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.33102762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135963439941406 × 2 - 1) × π
    0.728073120117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28730916537098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33102762} λ = 2.33102762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28730916537098))-π/2
    2×atan(9.84840157504932)-π/2
    2×1.46960382842292-π/2
    2.93920765684584-1.57079632675     		φ = 1.36841133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33102762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.558045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36841133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.404194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114163 KachelY 17821 2.33102762 1.36841133 133.558045 78.404194
    Oben rechts KachelX + 1 114164 KachelY 17821 2.33107555 1.36841133 133.560791 78.404194
    Unten links KachelX 114163 KachelY + 1 17822 2.33102762 1.36840169 133.558045 78.403642
    Unten rechts KachelX + 1 114164 KachelY + 1 17822 2.33107555 1.36840169 133.560791 78.403642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36841133-1.36840169) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36841133-1.36840169) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33102762-2.33107555) × cos(1.36841133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201006219189868 × 6371000     		do = 61.3796671344807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33102762-2.33107555) × cos(1.36840169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201015662427793 × 6371000     		du = 61.382550740783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36841133)-sin(1.36840169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201006219189868-0.201015662427793)×R²
    abs(2.33107555-2.33102762)×9.44323792431701e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.44323792431701e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.44323792431701e-06×40589641000000     		ar = 3769.80919423792m²