Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114159 / 17807
↖ ↑ ↗
← N 78.411920°
E133.547058°		 ← 61.35 m → N 78.411920°
E133.549805°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.411368°
E133.547058°		 ← 61.36 m →
3 764 m²		 N 78.411368°
E133.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870967864990234 y=0.135860443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870967864990234 × 217)
    floor (0.870967864990234 × 131072)
    floor (114159.5)     		tx = 114159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135860443115234 × 217)
    floor (0.135860443115234 × 131072)
    floor (17807.5)     		ty = 17807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114159 / 17807 ti = "17/114159/17807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114159/17807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114159 ÷ 217
    114159 ÷ 131072     		x = 0.870964050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17807 ÷ 217
    17807 ÷ 131072     		y = 0.135856628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870964050292969 × 2 - 1) × π
    0.741928100585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.33083587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135856628417969 × 2 - 1) × π
    0.728286743164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.28798028196566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33083587} λ = 2.33083587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28798028196566))-π/2
    2×atan(9.85501321912129)-π/2
    2×1.46967125556099-π/2
    2.93934251112199-1.57079632675     		φ = 1.36854618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33083587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.547058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36854618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.411920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114159 KachelY 17807 2.33083587 1.36854618 133.547058 78.411920
    Oben rechts KachelX + 1 114160 KachelY 17807 2.33088381 1.36854618 133.549805 78.411920
    Unten links KachelX 114159 KachelY + 1 17808 2.33083587 1.36853655 133.547058 78.411368
    Unten rechts KachelX + 1 114160 KachelY + 1 17808 2.33088381 1.36853655 133.549805 78.411368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36854618-1.36853655) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36854618-1.36853655) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33083587-2.33088381) × cos(1.36854618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200874119655865 × 6371000     		do = 61.352126642701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33083587-2.33088381) × cos(1.36853655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200883553358858 × 6371000     		du = 61.3550079384183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36854618)-sin(1.36853655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200874119655865-0.200883553358858)×R²
    abs(2.33088381-2.33083587)×9.43370299225088e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43370299225088e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43370299225088e-06×40589641000000     		ar = 3764.20884842273m²