Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114158 / 17809
↖ ↑ ↗
← N 78.410817°
E133.544311°		 ← 61.36 m → N 78.410817°
E133.547058°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.410265°
E133.544311°		 ← 61.36 m →
3 765 m²		 N 78.410265°
E133.547058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870960235595703 y=0.135875701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870960235595703 × 217)
    floor (0.870960235595703 × 131072)
    floor (114158.5)     		tx = 114158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135875701904297 × 217)
    floor (0.135875701904297 × 131072)
    floor (17809.5)     		ty = 17809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114158 / 17809 ti = "17/114158/17809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114158/17809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114158 ÷ 217
    114158 ÷ 131072     		x = 0.870956420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17809 ÷ 217
    17809 ÷ 131072     		y = 0.135871887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870956420898438 × 2 - 1) × π
    0.741912841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33078793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135871887207031 × 2 - 1) × π
    0.728256225585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.28788440816642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33078793} λ = 2.33078793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28788440816642))-π/2
    2×atan(9.85406842685355)-π/2
    2×1.46966162582648-π/2
    2.93932325165297-1.57079632675     		φ = 1.36852692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33078793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.544311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36852692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.410817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114158 KachelY 17809 2.33078793 1.36852692 133.544311 78.410817
    Oben rechts KachelX + 1 114159 KachelY 17809 2.33083587 1.36852692 133.547058 78.410817
    Unten links KachelX 114158 KachelY + 1 17810 2.33078793 1.36851729 133.544311 78.410265
    Unten rechts KachelX + 1 114159 KachelY + 1 17810 2.33083587 1.36851729 133.547058 78.410265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36852692-1.36851729) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36852692-1.36851729) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33078793-2.33083587) × cos(1.36852692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20089298704322 × 6371000     		do = 61.3578892284457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33078793-2.33083587) × cos(1.36851729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200902420708953 × 6371000     		du = 61.3607705127831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36852692)-sin(1.36851729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20089298704322-0.200902420708953)×R²
    abs(2.33083587-2.33078793)×9.43366573274984e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.43366573274984e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.43366573274984e-06×40589641000000     		ar = 3764.5623986786m²