Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114139 / 17835
↖ ↑ ↗
← N 78.396462°
E133.492126°		 ← 61.43 m → N 78.396462°
E133.494873°		 →
↑
61.48 m
↓
↑
61.48 m
↓
N 78.395909°
E133.492126°		 ← 61.44 m →
3 777 m²		 N 78.395909°
E133.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870815277099609 y=0.136074066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870815277099609 × 217)
    floor (0.870815277099609 × 131072)
    floor (114139.5)     		tx = 114139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136074066162109 × 217)
    floor (0.136074066162109 × 131072)
    floor (17835.5)     		ty = 17835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114139 / 17835 ti = "17/114139/17835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114139/17835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114139 ÷ 217
    114139 ÷ 131072     		x = 0.870811462402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17835 ÷ 217
    17835 ÷ 131072     		y = 0.136070251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870811462402344 × 2 - 1) × π
    0.741622924804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.32987713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136070251464844 × 2 - 1) × π
    0.727859497070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.2866380487763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32987713} λ = 2.32987713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2866380487763))-π/2
    2×atan(9.84179436667281)-π/2
    2×1.46953635694239-π/2
    2.93907271388478-1.57079632675     		φ = 1.36827639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32987713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.492126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36827639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.396462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114139 KachelY 17835 2.32987713 1.36827639 133.492126 78.396462
    Oben rechts KachelX + 1 114140 KachelY 17835 2.32992507 1.36827639 133.494873 78.396462
    Unten links KachelX 114139 KachelY + 1 17836 2.32987713 1.36826674 133.492126 78.395909
    Unten rechts KachelX + 1 114140 KachelY + 1 17836 2.32992507 1.36826674 133.494873 78.395909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36827639-1.36826674) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dl = 61.4801499998228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36827639-1.36826674) × R
    9.64999999997218e-06 × 6371000     		dr = 61.4801499998228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32987713-2.32992507) × cos(1.36827639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201138403229325 × 6371000     		do = 61.4328456486947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32987713-2.32992507) × cos(1.36826674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201147856001293 × 6371000     		du = 61.435732768568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36827639)-sin(1.36826674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201138403229325-0.201147856001293)×R²
    abs(2.32992507-2.32987713)×9.45277196784389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.45277196784389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.45277196784389e-06×40589641000000     		ar = 3776.98931565455m²