Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114138 / 17837
↖ ↑ ↗
← N 78.395357°
E133.489380°		 ← 61.43 m → N 78.395357°
E133.492126°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.394805°
E133.489380°		 ← 61.43 m →
3 773 m²		 N 78.394805°
E133.492126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870807647705078 y=0.136089324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870807647705078 × 217)
    floor (0.870807647705078 × 131072)
    floor (114138.5)     		tx = 114138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136089324951172 × 217)
    floor (0.136089324951172 × 131072)
    floor (17837.5)     		ty = 17837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114138 / 17837 ti = "17/114138/17837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114138/17837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114138 ÷ 217
    114138 ÷ 131072     		x = 0.870803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17837 ÷ 217
    17837 ÷ 131072     		y = 0.136085510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870803833007812 × 2 - 1) × π
    0.741607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.32982920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136085510253906 × 2 - 1) × π
    0.727828979492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.28654217497706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32982920} λ = 2.32982920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28654217497706))-π/2
    2×atan(9.84085084168592)-π/2
    2×1.46952671453803-π/2
    2.93905342907607-1.57079632675     		φ = 1.36825710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32982920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36825710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.395357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114138 KachelY 17837 2.32982920 1.36825710 133.489380 78.395357
    Oben rechts KachelX + 1 114139 KachelY 17837 2.32987713 1.36825710 133.492126 78.395357
    Unten links KachelX 114138 KachelY + 1 17838 2.32982920 1.36824746 133.489380 78.394805
    Unten rechts KachelX + 1 114139 KachelY + 1 17838 2.32987713 1.36824746 133.492126 78.394805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36825710-1.36824746) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dl = 61.4164399987953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36825710-1.36824746) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dr = 61.4164399987953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32982920-2.32987713) × cos(1.36825710) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20115729895894 × 6371000     		do = 61.4258011594563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32982920-2.32987713) × cos(1.36824746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.201166741897893 × 6371000     		du = 61.4286846744643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36825710)-sin(1.36824746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20115729895894-0.201166741897893)×R²
    abs(2.32987713-2.32982920)×9.44293895333015e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.44293895333015e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.44293895333015e-06×40589641000000     		ar = 3772.64257904498m²