Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114135 / 17831
↖ ↑ ↗
← N 78.398672°
E133.481140°		 ← 61.42 m → N 78.398672°
E133.483887°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.398119°
E133.481140°		 ← 61.42 m →
3 772 m²		 N 78.398119°
E133.483887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870784759521484 y=0.136043548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870784759521484 × 217)
    floor (0.870784759521484 × 131072)
    floor (114135.5)     		tx = 114135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136043548583984 × 217)
    floor (0.136043548583984 × 131072)
    floor (17831.5)     		ty = 17831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114135 / 17831 ti = "17/114135/17831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114135/17831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114135 ÷ 217
    114135 ÷ 131072     		x = 0.870780944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17831 ÷ 217
    17831 ÷ 131072     		y = 0.136039733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870780944824219 × 2 - 1) × π
    0.741561889648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.32968538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136039733886719 × 2 - 1) × π
    0.727920532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.28682979637478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32968538} λ = 2.32968538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28682979637478))-π/2
    2×atan(9.84368168804624)-π/2
    2×1.46955563903462-π/2
    2.93911127806925-1.57079632675     		φ = 1.36831495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32968538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.481140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36831495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.398672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114135 KachelY 17831 2.32968538 1.36831495 133.481140 78.398672
    Oben rechts KachelX + 1 114136 KachelY 17831 2.32973332 1.36831495 133.483887 78.398672
    Unten links KachelX 114135 KachelY + 1 17832 2.32968538 1.36830531 133.481140 78.398119
    Unten rechts KachelX + 1 114136 KachelY + 1 17832 2.32973332 1.36830531 133.483887 78.398119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36831495-1.36830531) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36831495-1.36830531) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32968538-2.32973332) × cos(1.36831495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201100631136981 × 6371000     		do = 61.4213090794391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32968538-2.32973332) × cos(1.36830531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.201110074188101 × 6371000     		du = 61.4241932303154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36831495)-sin(1.36830531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201100631136981-0.201110074188101)×R²
    abs(2.32973332-2.32968538)×9.44305112055011e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.44305112055011e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.44305112055011e-06×40589641000000     		ar = 3772.36671104234m²