Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114134 / 17814
↖ ↑ ↗
← N 78.408058°
E133.478394°		 ← 61.36 m → N 78.408058°
E133.481140°		 →
↑
61.35 m
↓
↑
61.35 m
↓
N 78.407506°
E133.478394°		 ← 61.36 m →
3 765 m²		 N 78.407506°
E133.481140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870777130126953 y=0.135913848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870777130126953 × 217)
    floor (0.870777130126953 × 131072)
    floor (114134.5)     		tx = 114134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135913848876953 × 217)
    floor (0.135913848876953 × 131072)
    floor (17814.5)     		ty = 17814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114134 / 17814 ti = "17/114134/17814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114134/17814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114134 ÷ 217
    114134 ÷ 131072     		x = 0.870773315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17814 ÷ 217
    17814 ÷ 131072     		y = 0.135910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.870773315429688 × 2 - 1) × π
    0.741546630859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32963745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135910034179688 × 2 - 1) × π
    0.728179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28764472366832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32963745} λ = 2.32963745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28764472366832))-π/2
    2×atan(9.8517068424373)-π/2
    2×1.46963754753302-π/2
    2.93927509506604-1.57079632675     		φ = 1.36847877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32963745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.478394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36847877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.408058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114134 KachelY 17814 2.32963745 1.36847877 133.478394 78.408058
    Oben rechts KachelX + 1 114135 KachelY 17814 2.32968538 1.36847877 133.481140 78.408058
    Unten links KachelX 114134 KachelY + 1 17815 2.32963745 1.36846914 133.478394 78.407506
    Unten rechts KachelX + 1 114135 KachelY + 1 17815 2.32968538 1.36846914 133.481140 78.407506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36847877-1.36846914) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dl = 61.3527300005972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36847877-1.36846914) × R
    9.63000000009373e-06 × 6371000     		dr = 61.3527300005972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32963745-2.32968538) × cos(1.36847877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200940155185564 × 6371000     		do = 61.3594936960165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32963745-2.32968538) × cos(1.36846914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.200949588758133 × 6371000     		du = 61.3623743508862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36847877)-sin(1.36846914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200940155185564-0.200949588758133)×R²
    abs(2.32968538-2.32963745)×9.43357256863453e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.43357256863453e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.43357256863453e-06×40589641000000     		ar = 3764.66081784131m²